Oberflächenintegral Kugel

28.12.2012, 00:09	Berryblue	Auf diesen Beitrag antworten »
Oberflächenintegral Kugel Meine Frage: Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes $\begin{eqnarray} \underline{u}:\mathbb E^3 \Rightarrow \mathbb E^3 \end{eqnarray}$ durch die geschlossene Randfläche $\begin{eqnarray} \partial B \end{eqnarray}$ der Kugel $\begin{eqnarray} B:={\underline{x}\in \mathbb E^3 :\|\|\underline{x}\|\|_{\mathbb E^3} \leq 3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underline{u} (\underline{x} )=\begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 + x_3\\ x_3 + x_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Berechnen Sie hier das Oberflächenintegral 2. Art: $\begin{eqnarray} \oint_{\partial B} \! u_{1}dx_{2}dx_{3} + u_{2}dx_{3}dx_{1}+u_{3}dx_{1}dx_{2}= \oint_{\partial B }\! \underline{u}^T \underline{n}\, d\mathcal O \end{eqnarray}$ und wählen Sie hier die Darstellung des Oberflächenintegrals 2. Art, die sich am einfachsten berechnen lässt. Meine Ideen: Ich würde erstmal die Koordinaten in Kugelkoordinaten umformen. $\begin{eqnarray} <br /> x_{1}= r sin\vartheta cos\varphi<br /> x_{2}= r sin\vartheta sin\varphi <br /> x_{3}= r cos\vartheta <br /> \end{eqnarray}$ dadurch ergibt sich u: $\begin{eqnarray} \underline{u}=\begin{pmatrix} r sin\vartheta cos\varphi + r sin\vartheta sin\varphi\\ r sin\vartheta sin\varphi + r cos\vartheta \\r cos\vartheta + r sin\vartheta cos\varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Normalenvektor n ist: $\begin{eqnarray} n=\begin{pmatrix} r^2sin^2\vartheta cos\varphi \\ r^2sin^2\vartheta sin\varphi\\ r^2 sin\vartheta cos\varphi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Skalarprodukt zwischen u und n ist: $\begin{eqnarray} <br /> r^3 sin^3\vartheta cos\varphi (sin\varphi + cos\varphi)+r^3sin^2\vartheta sin\varphi (sin\vartheta sin\varphi + cos\vartheta)+r^3 sin\vartheta cos\vartheta(sin\vartheta cos\varphi+cos\vartheta) \end{eqnarray}$ Nun müsste halt das Skalarprodukt integriert werden. Aber ich bekomme den Term, wenn er richtig ist, nicht vereinfacht.
28.12.2012, 11:51	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Oberflächenintegral Kugel Benutze doch den Satz von Gauß.
28.12.2012, 17:09	Berryblue	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre dann der zweite Aufgabenteil: " Kontrollieren Sie Ihr Ergebnis mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes." Daher schließe ich darauf das ich das im ersten Aufgabenteil einen anderen Weg nehmen muss.
21.01.2013, 21:17	Berryblue	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok mit Gauß ist es: $\begin{eqnarray} div(\underline {u})=3 \end{eqnarray}$ und die Funktionaldeterminate ist: $\begin{eqnarray} r^2sin\vartheta \end{eqnarray}$ Damit ist das Integral: $\begin{eqnarray} \int_B \! div(\underline {u})dB \,=\int_0^3 \! \, \int_0^{2\pi} \! \, \int_0^{\pi} \! \, 3r^2sin\vartheta d\vartheta d\varphi dr \end{eqnarray}$ Und das Ergebnis $\begin{eqnarray} 12\pi \frac{1}{3} \left[r^3\right]_{0}^{3}=4\pi27=108\pi \end{eqnarray}$ Aber damit ist leider noch nicht der Term aufgelöst. Kann mir einer ein Tipp geben (in Bezug des Terms) oder den Anfang geben?
21.01.2013, 21:37	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Gauß stimmt es; das ist einfach das Dreifache Volumen einer Kugel mit Radius Drei. Kugelkoordinaten mag ich nicht

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