Integrale

28.12.2012, 10:23

Sb22

Integrale

Meine Frage:
Hallo ich habe Probleme bei einer Aufgabe:

Bestimmen sie das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{1}{\sqrt{1+x^2} } \, dx \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich hier vor?

Meine Ideen:
Keine

28.12.2012, 10:38

Mystic

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RE: Integrale
$\begin{eqnarray*} x=\sinh t \end{eqnarray*}$

28.12.2012, 11:01

Sb22

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Wie bist du ohne weiteres auf die Idee gekommen?

28.12.2012, 11:03

Mystic

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Zitat:

Original von Sb22
Wie bist du ohne weiteres auf die Idee gekommen?

Erfahrung... Augenzwinkern

Die Frage ist aber jetzt eher, ob du mit dieser Idee was anfangen kannst? verwirrt

28.12.2012, 23:21

Sb22

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So sieht mein Ansatz aus:

Weiter komme ich im Moment nicht.

29.12.2012, 09:36

Mystic

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Ich versteh da nur Bahnhof... geschockt

Du hast da 3 Variable: u,x und t... Die Frage ist vor allem: Wo kommt das u her? verwirrt

29.12.2012, 09:58

Sb22

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Wie soll ich das denn richtig machen?

29.12.2012, 10:23

Monoid

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Du substituierst $\begin{eqnarray*} x=\sinh (t) \Rightarrow \frac{d x}{d t}=\cosh (t) \, ... \end{eqnarray*}$

Editiert
Mulder

29.12.2012, 10:51

Mystic

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Zitat:

Original von Mathemathemathe
Du substituierst $\begin{eqnarray*} x=\sinh (t) \Rightarrow \frac{d x}{d t}=\cosh (t) \, ... \end{eqnarray*}$

Ich kann mir gut vorstellen, dass sich Sb22 jetzt die Hände reibt: Er hat nach eigener Aussage im Eingangsposting keine wie immer geartete Idee, wie die Aufgabe gehen könnte, schreibt auf meine Antwort, mit welcher Substitution das genau zu lösen ist, nur einen unglaublichen Schwachsinn (was er vermutlich aber auch selber weiß!), und bekommt dafür eine Fastlösung frei Haus geliefert... Super, sage ich da nur... unglücklich

29.12.2012, 10:56

Mulder

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Dem stimme ich zu. Ich hab's editiert. Ob der Fragesteller das schon gelesen hat oder nicht... wer weiß.

@Mmm: Bitte nicht übertreiben. Schubser in die richtige Richtung sind okay, aber nicht gleich alles vorschmatzen.

29.12.2012, 15:01

Sb22

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Könnt ihr mir erklären warum die Substitution : dx/dt ist ?

Ich dachte es funktioniert so:

X= sin h t

dt = cosh t * dx

dx= dt/cosh t

29.12.2012, 15:15

Mystic

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Zitat:

Original von Mathemathemathe
Du substituierst $\begin{eqnarray*} x=\sinh (t) \Rightarrow \frac{d x}{d t}=\cosh (t) \, ... \end{eqnarray*}$

Der Anfang steht doch schon da... Du musst jetzt nur mehr für x und dx in deinem Integral einsetzen... Wie schaut es danach aus?

29.12.2012, 23:06

Sb22

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Dann hätte ich das stehen .

Aber wie gehe ich weiter vor?

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{cosh t *dt}{\sqrt{1+(sinht)^2} } \, dx \end{eqnarray*}$

30.12.2012, 00:26

Che Netzer

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Du könntest jetzt $\begin{eqnarray*} \cosh^2t-\sinh^2t\equiv1 \end{eqnarray*}$ benutzen.

30.12.2012, 01:05

Sb22

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Dann würde nur noch 1/cos h t im Integral stehen bleiben oder?

Wie gehe ich weiter vor?

30.12.2012, 01:12

Che Netzer

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Nein, der Integrand ist falsch. Wie bist du darauf denn gekommen?

30.12.2012, 01:28

Sb22

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sinh^2 t = -1 +cosh^2 t

Stimmt ich merke grad den Fehler:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \, dt\frac{cosh t}{\sqrt{1+((-1+cosht)^2} } = \int_a^b \! \, dt\frac{cosh t}{\sqrt{1+(1+cosht^2} } = \int_a^b \! \, dt\frac{cosht}{\sqrt{2+cosht^2} } \end{eqnarray*}$

Soll ich denn Nenner jetzt konjugiert komplex erweitern?

30.12.2012, 01:31

Che Netzer

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Das zweite Integral ist falsch, ich hätte aber eher zur Umformung $\begin{eqnarray*} \cosh^2t=1+\sinh^2t \end{eqnarray*}$ geraten.

Etwas komplexes taucht hier sowieso nicht auf.

30.12.2012, 01:34

Sb22

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Liegt da in der Klammer ein Binom vor oder wie ?

Soll ich jetzt im Zähler für cosh t = 1 + sinh t einsetzen?

30.12.2012, 01:40

Che Netzer

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Zum ersten Satz: Ja.
Du kannst nicht beide Summanden einzeln quadrieren.

Zum zweiten: Da sind hoffentlich nur die Quadrate verschwunden, aber ja, etwas vergleichbares sollst du einsetzen.

30.12.2012, 01:42

Sb22

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Ja aber oben im Zähler steht ja cosh t.

Warum soll dann ein Quadrat hin?

30.12.2012, 01:43

Che Netzer

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Oh, da habe ich wohl vor lauter Wunschdenken Nenner statt Zähler gelesen.

30.12.2012, 01:45

Sb22

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Im nenner steht ja ein sin eigentlich , also wie gehe ich dann vor?

30.12.2012, 01:47

Che Netzer

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Da steht nicht sin, sondern ein Term mit einem Sinus Hyperbolicus.
Und genauer steht dort unter der Wurzel $\begin{eqnarray*} 1+\sinh^2t \end{eqnarray*}$ .
Mit der von mir vorgeschlagenen Gleichung $\begin{eqnarray*} \cosh^2t=1+\sinh^2t \end{eqnarray*}$ sollte dir dazu nun wirklich etwas einfallen.

30.12.2012, 01:49

Sb22

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Kommt als Integral einfach t raus?

30.12.2012, 01:50

Che Netzer

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Ja, abgesehen von der Integrationskonstante.

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