Normalverteilte ZV

28.12.2012, 12:23

Blackmore

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Normalverteilte ZV

Moin Zusammen, ich habe folgende Aufgabe vor mir:

Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit p(X kleiner gleich 6) = 0.0668 und p(grösser gleich 0) = 0.0668. Welche der
folgenden Aussagen ist richtig:

A: E(X) =-3; 3 B: E(X) = -4; 4 C: E(X) =-5; 5 D: E(X) = -6
E: var(X) = 1 F: var(X) = 4 G: var(X) = 9 H: var(X) = 16

Die Lösung meines Dozenten sagt schlichtwegs, das E(X) aus Symmetriegründen -3 sein muss. Aber wie kommt er auf diese Annahme?

Danach berechnet er die Varianz folgendermassen:

Berechnung der Varianz:
Es gilt mit my= -3 und sigma*z = 3:
p(my-sigma*z kleiner gleich X grösser gleich my+sigma*z) =p(-6 kleiner gleich X grösser gleich 0)
= 1 – 2*0.0668 = 0.8664
z = 1.5 (aus der Tabellefür die sigma umgebung)
sigma = 2 und damit var(X) = 4

Das alles ist ja schön und gut, aber ich habe NULL Ahnung, wie der auf dies kommt.

Brauche dringend Hilfe!

Danke!

28.12.2012, 12:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Blackmore
mit p(X kleiner gleich 6) = 0.0668 und p(grösser gleich 0) = 0.0668.

Dann wäre aber

$\begin{eqnarray*} P(X<0 \,\vee\,X>6) = P(X<0) + P(X>6) = 2(1-0.0668) > 1 \end{eqnarray*}$ ,

das ist unmöglich. unglücklich

unglücklich

Kann es sein, dass du dich verschrieben hast und statt $\begin{eqnarray*} P(X\leq 6)=0.0668 \end{eqnarray*}$ eher $\begin{eqnarray*} P(X\leq -6)=0.0668 \end{eqnarray*}$ meinst? Auch dein $\begin{eqnarray*} E(X)=-3 \end{eqnarray*}$ spricht dafür...

28.12.2012, 18:30

Blackmore

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Mist, stimmt ich habe mich da tatsächlich Verschrieben.

$\begin{eqnarray*} P(X\leq -6)=0.0668 \end{eqnarray*}$ ist korrekt.
Aber die Fragen bleiben dieselben, ich habe immernoch keine Ahnung, wie diese ganze Rechnung funktioniert.

Sorry vielmals an HAL 9000.

28.12.2012, 18:42

Math1986

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Na, die Normalverteilung ist symmetrisch zum Erwartungswert, und da du bei 0 und -6 die selben Werte hast, muss der Erwartungswert in der Mitte liegen.

28.12.2012, 19:03

Blackmore

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Zitat:

Original von Math1986
Na, die Normalverteilung ist symmetrisch zum Erwartungswert, und da du bei 0 und -6 die selben Werte hast, muss der Erwartungswert in der Mitte liegen.

OHa? Das steht leider nirgends im Skript, dass wir erhalten haben, ein Danke an meinen Prof.
Und bei der Lösung war es für mich unklar, weil ich er davor nie gesehen habe.

Wie sieht das, dann mit dem Rest der Lösung aus?

28.12.2012, 19:14

Math1986

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Na dass das so nicht im Skript steht glaube ich ja nicht so ganz Augenzwinkern

Augenzwinkern

steht auch auf Wikipedia.

Was ist dir an dem Rest unklar?

Zitat:

Es ist mit $\begin{eqnarray*} \mu=-3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma\cdot z = 3 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} P(\mu-\sigma\cdot z\leq X \leq\mu+\sigma\cdot z) =P(-6\leq X\leq 0) = 1 - 2\cdot 0.0668 = 0.8664 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = 1.5 \end{eqnarray*}$ (aus der Tabelle für die sigma umgebung)
$\begin{eqnarray*} \sigma = 2 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X) = 4 \end{eqnarray*}$

Welcher Schritt ist dir unklar?

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28.12.2012, 19:22

Blackmore

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Zitat:

Original von Math1986
Na dass das so nicht im Skript steht glaube ich ja nicht so ganz Augenzwinkern

Augenzwinkern

steht auch auf Wikipedia.

Was ist dir an dem Rest unklar?

Zitat:

Es ist mit $\begin{eqnarray*} \mu=-3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma\cdot z = 3 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} P(\mu-\sigma\cdot z\leq X \leq\mu+\sigma\cdot z) =P(-6\leq X\leq 0) = 1 - 2\cdot 0.0668 = 0.8664 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = 1.5 \end{eqnarray*}$ (aus der Tabelle für die sigma umgebung)
$\begin{eqnarray*} \sigma = 2 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X) = 4 \end{eqnarray*}$

Welcher Schritt ist dir unklar?

Ich muss es nochmals durchlesen, aber ich hab da wirklich nichts gesehen. OK Wiki habe ich nicht gefragt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Erstmal ist mir nicht klar, wie er dann auf $\begin{eqnarray*} \sigma\cdot z = 3 \end{eqnarray*}$ : kommt.
Dann das 1-2*0.0668.

Der Rest ist dann klar.
Ich glaube ich habe das ganze Thema irgendwie noch nicht wirklich intus. Und das nervt mich ein bisschen, da ich sonst mit Mathe nicht so wirklich Probleme habe, aber irgendwie kann ich dieses Statistik nicht richtig greiffen, es entzieht sich mir immer wieder ^^

28.12.2012, 19:27

Math1986

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Er wählt das $\begin{eqnarray*} \sigma\cdot z = 3 \end{eqnarray*}$ eben so, dass er auf $\begin{eqnarray*} P(-6\leq X \leq 0) \end{eqnarray*}$ kommt.

Der Schritt
$\begin{eqnarray*} P(-6\leq X\leq 0) = 1 - 2\cdot 0.0668 \end{eqnarray*}$
folgt direkt über die Gegenwahrscheinlichkeit.

28.12.2012, 19:45

Blackmore

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Zitat:

Original von Math1986
Er wählt das $\begin{eqnarray*} \sigma\cdot z = 3 \end{eqnarray*}$ eben so, dass er auf $\begin{eqnarray*} P(-6\leq X \leq 0) \end{eqnarray*}$ kommt.

Der Schritt
$\begin{eqnarray*} P(-6\leq X\leq 0) = 1 - 2\cdot 0.0668 \end{eqnarray*}$
folgt direkt über die Gegenwahrscheinlichkeit.

OK, das erste ist klar, ist eigentlich nur umformen. Sehr gut.
Und mit der Gegenwahrscheinlichkeit muss ich rechnen, damit ich das ganze in diese Form:
$\begin{eqnarray*} P(-6\leq X\leq 0) \end{eqnarray*}$ bringen kann oder?

28.12.2012, 19:53

Math1986

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Wie sieht denn die Gegenwahrscheinlichkeit zu $\begin{eqnarray*} P(-6\leq X\leq 0) \end{eqnarray*}$ aus?

28.12.2012, 19:57

Blackmore

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Zitat:

Original von Math1986
Wie sieht denn die Gegenwahrscheinlichkeit zu $\begin{eqnarray*} P(-6\leq X\leq 0) \end{eqnarray*}$ aus?

Ich gehe mal davon aus du meinst nicht:
1- $\begin{eqnarray*} P(-6\leq X\leq 0) \end{eqnarray*}$ oder?

28.12.2012, 19:58

Math1986

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Nein, ich meine die Gegenwahrscheinlichkeit. Schon mal was davon gehört?

28.12.2012, 20:03

Blackmore

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Zitat:

Original von Math1986
Nein, ich meine die Gegenwahrscheinlichkeit. Schon mal was davon gehört?

Klar, die Gegenwahrscheinlichkeit ist ja das gegenteil von der Wahrscheinlichkeit, also in diesem Fall wäre dies dann:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq-6) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} P(0\leq X) \end{eqnarray*}$ .

28.12.2012, 20:05

Math1986

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Zitat:

Original von Blackmore
$\begin{eqnarray*} P(X\leq-6) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} P(0\leq X) \end{eqnarray*}$ .

Ja, und diese Werte sind gegeben.

Insgesamt also:
$\begin{eqnarray*} P(-6\leq X\leq 0) = 1 - 2\cdot 0.0668 \end{eqnarray*}$

28.12.2012, 20:10

Blackmore

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Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Original von Blackmore
$\begin{eqnarray*} P(X\leq-6) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} P(0\leq X) \end{eqnarray*}$ .

Ja, und diese Werte sind gegeben.

Insgesamt also:
$\begin{eqnarray*} P(-6\leq X\leq 0) = 1 - 2\cdot 0.0668 \end{eqnarray*}$

Ja, die sind beide gegeben. Aber eben, um schlussendlich auf sigma zu kommen muss ich die Gegenwahrscheinlichkeit also benutzen damit ich das ganze in diese Form bringen kann:
$\begin{eqnarray*} P(-6\leq X\leq 0) \end{eqnarray*}$ weil ich sonst keine Formel nach sigma habe oder?
Ich hoffe, Du schreibst jetzt einfach nur ein Ja, denn dann habe ich es endlich verstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.12.2012, 20:14

Math1986

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Genau das habe ich doch die ganze Zeit schon geschrieben verwirrt

verwirrt

28.12.2012, 20:18

Blackmore

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OK, eben, ich habe/hatte einen riesen Knoten und hier ging gar nichts mehr bei mir.
Aber ich danke extremst, hast mir sehr sehr geholfen.

Ich hoffe den Rest kann ich auch noch entwirren.

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