Stetigkeit in einem Intervall

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28.12.2012, 13:21	hoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit in einem Intervall Meine Frage: Hallo, ich stehe mal wieder völlig auf dem Schlauch. Ich soll bestimmen, ob eine Funktion in einem abgeschlossenen Intervall stetig ist. Mein Probelm ist hier das Intervall. Stetigkeit an einem Punkt kann ich berechnen. Hier die Aufgabe: Ist die Funktion $\begin{eqnarray} x\sqrt{\frac{1}{x^{2} }+4 } \end{eqnarray}$ a) in dem Intervall [-3,3] stetig? b) in dem Intervall [0,3] stetig? c) in dem Intervall (0,3) stetig? d) Kann man die Funktion neu definieren, sodass sie überall stetig ist? Wenn ja, definiere sie und wenn nicht, erkläre warum. Meine Ideen: a) Ich glaube, dass ich die Grenzwerte für $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 3-} x\sqrt{\frac{1}{x^{2} }+4 } \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 3+} x\sqrt{\frac{1}{x^{2} }+4 } \end{eqnarray}$ ausrechenen und das gleiche auch für 3. Ist der Ansatz so richtig? Außerdem muss ich dann noch die Stelle x=0 untersuchen, weil $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^{2} } \end{eqnarray}$ dort nicht definiert ist. Das habe ich probiert, aber ich komme bei dem ausrechenen einfach nicht weiter. Denn ich könnte doch schreiben $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0+} x \lim_{x \to 0+} \sqrt{\frac{1}{x^{2} }+4 } \end{eqnarray}$ . Daraus würde doch aber folgen, dass der erste Teil 0 als Grenzwert hat und der zweite Teil $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ . Was mache ich denn dann? Is tder Grenzwert dann 0? Ich weiß wirklich gar nicht weiter und so schlüssig scheint mit mein Ansatz auch nicht. Ich würde mich sehr über ein bisschen Hilfe freuen.
28.12.2012, 13:28	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit in einem Intervall Du hast doch richtig erkannt, dass die Funktion bei x=0 nicht definiert ist, wo sie nicht definiert ist kann sie auch nicht stetig sein..... Um zu schauen, ob man sie stetig fortsetzen kann ist der rechts- und der linksseitige Grenzwert von x gegen 0 zu betarchten. Warum du den Grenzwert an den Intervallgrenzen betrachtest ist mir nicht ganz klar, da kann man einfach einsetzen
28.12.2012, 14:04	hoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit in einem Intervall Danke für deine Antwort! Also kann ich zu a) einfach sagen, dass sie nicht stetig ist, weil die Funktion am Punkt x=0 nicht definiert ist? Wie ist das bei b)? Muss ich da dann den rechtsseitigen Grenzwert von x gegen 0 betrachten? Ich habe auch Schwierigkeiten diesen Grenzwert auszurechnen. Das Problem hatte ich schon in meinem ersten Post geschildert. Und wenn ich in die Intervallgrenzen einsetzte, was sagt mir das dann über die Funktion aus? Wenn ich -3 einsetze, bekomme ich als Ergebnis $\begin{eqnarray} -\sqrt{37} \end{eqnarray}$ und wenn ich 3 einsetze, bekomme ich $\begin{eqnarray} \sqrt{37} \end{eqnarray}$ . Daraus lässt sich doch schließen, dass die Funktion eine Nullstelle hat, oder nicht?
28.12.2012, 14:15	LuckyLoser	Auf diesen Beitrag antworten »
Das würde mit dem Zwischenwertsatz funktionieren, wenn denn die Funktion stetig wäre! Es erschließt sich mir nicht, warum du die Randpunkte betrachtest? Als Konstrukt stetiger Funktion ist die Funktion auch stetig, jedenfalls abseits des Punktes x=0. Für den links- bzw rechtsseitigen Grenzwert zu x=0 sei nun gesagt, dass dieser -1 bzw 1 ist (Warum?) Das beantwortet zudem Aufgabenteil d)
28.12.2012, 14:25	hoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir! Natürlich kann die Funktion keine Nullstelle haben. Ich habe die Definition des Zwischenwertsatzes ja völlig außer acht gelassen! Ich war mir nicht sicher, ob ich die Randpunkte betrachten muss. Vielleicht dachte ich das, weil ich im Hinterkopf die ganze Zeit den Zwischenwertsatz hatte. Also kann ich sagen, dass die Funktion abseits von x=0 stetig ist, weil beide Funktionen, die diese Funktion ausmachen, stetig sind? zu b) Also kann ich auch hier sagen, dass sie nicht stetig ist, weil der Punkt 0 inbegriffen ist? zu c) Kann ich hier sagen, dass sie hier stetig ist? Wie muss ich das beweisen? Es erschließt sich mir nicht, wie der rechts-, und der linkseitige Grenzwert 1 und -1 sein können.
28.12.2012, 15:25	LuckyLoser	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kannst du sagen, beantwortet aber keine der Fragen . Zu b) Du erkennst das Problem hier nicht richtig, bzw. die "Falle" c) Den Beweis habe ich dich schon geliefert. Du musst dich nur auf diesen Satz berufen (vorausgesetzt ihr habt gezeigt, dass die Wurzelfunktion stetig ist) Zur Not kann man sich die Funktion auch mal plotten lassen, dann wird das ersichtlich.
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28.12.2012, 17:20	hoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
zu b) Muss ich dann nicht den rechts-, und den linksseitigen Grenzwert, wenn x gegen 0 geht, berechenen. Dann sehe ich, dass die unterschiedlich sind, und deshalb ist die Funktion im Intervall [0,3] nicht stetig. Geht das so? zu c) Wir haben nicht gezeigt, dass die Wurzelfunktion stetig ist. Gibt es denn noch einen anderen Ansatz? Ich hab wirklich gar keine Ahnung, wie ich da weitermachen soll. Und noch die Frage: wie kann ich denn nun den rechts-, und den linksseitigen Grenzwert berechnen, so dass dieser 1 bzw. -1 wird. Vielleicht kann mir jemand erklären, was in meiner Überlegung aus dem Anfangspost nicht stimmt, sodass ich das nochmal überdenken kann?
28.12.2012, 17:34	LuckyLoser	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu b) Wie willst du denn den linksseitigen Grenzwert betrachten, wenn diese Werte im Definitionsbereich nicht vorhanden sind c) Da bin ich dann auch überfragt. Ich arbeite lieber mit Sätzen. Aber vielleicht hat jemand anderes eine Idee. Zur Not kann man das auch beweisen. Wie gesagt, die Grenzwerte! sind -1,1. Wie du bereits festgestellt hast, führt das Aufsplitten nicht zum Erfolg, da dies auf einen unbestimmten Ausdruck der Form $\begin{eqnarray} 0\cdot \infty \end{eqnarray}$ führt. Hier hilft es, die beiden Faktoren zusammenzufassen, indem man für $\begin{eqnarray} x\downarrow 0{,}x=\sqrt{x^2} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} x\uparrow 0{,}x=-\sqrt{x^2} \end{eqnarray}$ verwendet.
28.12.2012, 17:50	hoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
zu b) Da hab ich schon wieder nicht richtig aufgepasst. Klar, dass ich den linksseitigen Grenzwert nicht betrachte. zu c) Das schaue ich mir später nochmal an. Zu den Grenzwerten. Meinst du damit, dass ich das dann so schreibe: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0+} -\sqrt{x^{2} } \sqrt{\frac{1}{-(\sqrt{x^{2}})^{2} }} +4 \end{eqnarray*}$ ??
28.12.2012, 17:54	LuckyLoser	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte nochmal meinen obigen Beitrag durchlesen.
28.12.2012, 18:04	hoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehs einfach nicht.
28.12.2012, 18:14	LuckyLoser	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann einmal beispielhaft: $\begin{eqnarray} \lim_{x\downarrow 0} x\sqrt{\frac{1}{x^2}+4}= \lim_{x\downarrow 0} \sqrt{x^2}\sqrt{\frac{1}{x^2}+4}=\lim_{x \downarrow 0} \sqrt{x^2\left(\frac{1}{x^2}+4\right)}=\lim_{x \downarrow 0} \sqrt{1+4x^2}=1 \end{eqnarray}$
28.12.2012, 18:27	hoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hab ichs!! Danke dir! Und nun bin ich wieder beim Problem von vorher. b) Du hattest vorhin geschrieben, dass ich das Problem (bzw. die Falle) nicht erkenne. Nun bin ich mir aber nicht sicher, ob ich sie jetzt erkenne. Ist es nicht einfach so, dass die Funktion auch in diesem Bereich nicht stetig ist, weil die 0 inbegriffen ist, und die Funktion bei x=0 nicht defniert ist?
28.12.2012, 18:42	LuckyLoser	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das denn für die Stetigkeit auf dem Interval [0,3] von Bedeutung?
28.12.2012, 18:59	hoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte schon, dass es relevant ist. Denn die Funktion kann ja nicht auf einmal stetig sind in einem Intervall, welches 0 mit einbegreift, wenn sie bei 0 nicht definiert ist. Also, Stetigkeit an einem Punkt ist ja so definiert, dass der Grenzwert von f(x) wenn x gegen a geht gleich f(a) ist. In diesem Fall haben wir doch gesehen, dass der rechts-, und der linksseitige Grenzwert unterschiedlich sind. Daher, ist die Funktion an dem Punkt x=0 nicht stetig und deshalb ist die Funktion auch in dem Intervall [0,3] nicht stetig. ??
28.12.2012, 19:04	LuckyLoser	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte, ob es für dieses Intervall für die Stetigkeit relevant ist, dass der Randpunkt x=0 nicht definiert ist?
28.12.2012, 19:26	hoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, denn f(x) soll ja auch an dem Punkt 0 stetig sein im Intervall [0,3]. Oder nicht?
28.12.2012, 19:37	LuckyLoser	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich nicht, aber vllt habe ich immo auch einen Denkfehler. Wir sind uns doch einig, dass die Funktion auf (0,3] stetig ist. Die Stetigkeit geht doch nicht verloren, wenn ich den Definitionsbereich um einen nicht definierten Randpunkt, nämlich 0, erweitere. Aber vllt erbarmt sich weranders, meine Aussage zu bestätigen oder zu widerlegen
28.12.2012, 19:42	hoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da sind wir uns einig, dass (0,3] ist stetig. Ansonsten bin ich völlig überfragt und habe absolut keine Ideen mehr...
29.12.2012, 01:46	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass $\begin{eqnarray} f(x) := x\sqrt{\frac{1}{x^2}+4} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [-3,3] \end{eqnarray}$ nicht stetig ist, ist wegen der nicht hebbaren Definitionslücke bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ klar. Ebenso ist klar, dass auf $\begin{eqnarray} (0,3) \end{eqnarray}$ die Funktion stetig ist, man kann nämlich für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ einfach schreiben: $\begin{eqnarray} f(x) := x\sqrt{\frac{1}{x^2}+4}=\sqrt{\frac{x^2}{x^2}+4x^2}=\sqrt{1+4x^2} \end{eqnarray}$ Im Fall $\begin{align} [0,3] \end{align}$ kann man $\begin{align} f(x),x>0 \end{align}$ durch $\begin{align} f(0)=1 \end{align}$ stetig fortsetzen, also ist $\begin{align} f(x) \end{align}$ mit dieser Fortsetzung auch auf $\begin{align} [0,3] \end{align}$ stetig, sonst nicht. Dass der Limes $\begin{eqnarray} \lim_{x\nearrow 0}f(x) = -1 \end{eqnarray}$ , ist dabei unerheblich, da $\begin{align} x<0 \end{align}$ nicht mehr zum Definitionsbereich gehört.
30.12.2012, 08:24	hoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank RavenOnJ!
30.12.2012, 13:46	hoernchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Und natürlich auch viele Danke an LuckyLoser! Konnte die Aufgabe jetzt endlich lösen.

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