Unterräume, Aussagen äquivalent

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mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
Unterräume, Aussagen äquivalent
Meine Frage:
Hallo.

Ich habe mich an folgender Aufgabe versucht:

Seien Unterräume und . Sei .
Zeigen Sie, dass dann folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) für i=1,...,m
(ii) Aus mit für i=1, ...,m folgt
(iii) Jedes lässt sich eindeutig schreiben als mit für i=1, ...,m

Meine Ideen:
Wie schon oben gesagt, habe ich mich dran versucht und bezweifel, dass es richtig ist , sowohl der Beweis als auch die Beweisform (außerdem fehlt mir noch eine Richtung).



mit












mit
mit
mit
Wie kommt man jetzt darauf das ?

Kann man das so beweisen?

Hoffe ihr versteht ungefähr was ich meine.

Danke schonmal für die Hilfe.
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Hallo!

zu

Das funktioniert so nicht.
Nimm doch mal an du hättest ein Element in und versuch das in die Form von so einer Summe zu bringen die gleich 0 ist. Als Tipp überleg mal wie du die Elemente in darstellen kannst.

zu

Du willst hier eine Folgerung zeigen also nimm dir erstmal mit her und überleg dir dann wie du benutzen könntest, dass sich jedes sich eindeutig als mit schreiben lässt. Wichtig hierbei ist die Eindeutigkeit.

zu

heißt ja schon, dass du jedes als mit schreiben kannst, also musst du nur noch die Eindeutigkeit zeigen, also nimm dir 2 verschiedene Zerlegungen von her und zeig, dass sie gleich sein müssen.
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Hm, steh gerade auf dem Schlauch ...

zu

Wie zerlegt man das u? Meinst du ich nehm mir z.B. einfach und ? (glaub ich nämlich nicht)

zu

Ich verstehe das mit der Eindeutigkeit in diesem Zusammenhang irgendwie nicht ...

zu

Hab ich nicht schon die Def. von gegeben? Bzw. die "Beschreibung"? Oder was meinst du mit darstellen?

(Sorry, wegen den doofen Fragen, aber das Thema und solche Beweise liegen mir irgendwie noch nicht.)
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Zitat:
Wie zerlegt man das u? Meinst du ich nehm mir z.B. einfach und ? (glaub ich nämlich nicht)


Mit Zerlegung ist gemeint eine Zerlegung in so eine Summe von , also nimm dir zwei solche Zerlegungen her (du weißt ja schon dass auf jeden Fall eine existiert) also irgendwie sowas wie wobei halt
Und versuch dir zu überlegen warum gelten muss
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Zitat:
zu Ich verstehe das mit der Eindeutigkeit in diesem Zusammenhang irgendwie nicht ...


Du setz ja voraus, und nimmst dir her sodass gilt, also hast du eine Zerlegung von 0 gefunden, und was liefert dann die Eindeutigkeit?
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Zitat:
zu Hab ich nicht schon die Def. von gegeben? Bzw. die "Beschreibung"? Oder was meinst du mit darstellen?


Ich meine damit , dass die Summe von Vektorräumen ist und Elemente daraus kann man ja gerade als Summe von Vektoren aus den Vektorräumen darstellen. Wenn du jetzt ein Element in dem Schnitt findest kannst du das auf zwei verschieden Arten darstellen, da es ja sowohl in der einen als auch der anderen Menge liegt.

PS: es gibt keine doofen Fragen Augenzwinkern
 
 
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
zu erstmal:

Das bedeutet dann, es gibt genau eine Lösung damit 0 rauskommt, oder?

Bei und hab ich noch nicht wirklich eine Idee.
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Gut denn erstmal : Naja eben es gibt genau eine Lösung, also wenn du noch andere Êlemente aus den findest deren Summe gleich 0 ist müssen die schon gleich sein, also kennst du noch andere Elemente deren Summe gleich 0 ist?
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Nein?
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
und . Also liefert die Eindeutigkeit, dass aus folgen muss dass
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Schreibt man das dann so als Beweis?:

und damit folgt aus das .
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Im wesentlichen schon, vielleicht nochmal erwähnen, dass du so 2 Zerlegungen von 0 gefunden hast und damit liefert (iii) dass sie gleich sein müssen.
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Ok, mach ich.

Jetzt zu den anderen beiden.

Bei (i) -> (iii) war ja die Frage warum . Hat das was mit den Unterräumen zu tun ... bin mir da nicht sicher.

Bei (ii) -> (i) habe ich nicht wirklich eine Idee. Mir ist klar, das man das Element, was in beiden Mengen liegt, unterschiedlich darstellen kann. Was ich aber nicht verstehe, wie ich auf so ein Element kommen soll, wenn nix "konkretes" gegeben ist. (z.B. Zahlen oder so)
(Hoffe du verstehst was ich mein. Augenzwinkern )
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Gut denn erstmal
Du setzt ja (i) voraus und willst (iii) zeigen. Also sei dann existieren da die Summe von den ist mit . Also bleibt noch die Eindeutigkeit der Zerlegung zu zeigen, also nehmen wir eine zweite Zerlegung mit Daraus kannst du folgern, dass , also , und nun die Frage in welcher Menge liegt die linke Seite der Gleichung und in welcher Menge die rechte Seite? Tipp guck dir an was aussagt
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Ich würde sagen die Menge der linken Seite liegt in und die Menge der rechten in . Oder?
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Ganz genau und weil dazwischen ein = steht, ist das ein Element, das in welcher Menge liegt?
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
In der Schnittmenge.
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Ja und was weißt du über die Schnittmenge?
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Die Schnittmenge ist = {0}.
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Soll ich dazu noch irgendwas sagen oder ist der Rest klar?
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Damit ist dann klar, dass , weil man "jede" Seite gleich 0 setzen kann. Und wenn man das mit der linken z.B. macht, kommt dann darauf. Oder?
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Erstmal wünsch noch ein frohes neues Jahr. smile

Soo, irgendwie hab ich bei dem letzten Beweis keine Idee ... ein Ansatz wäre ganz nett.
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Dann bleibt ja noch (ii)->(i) zu zeigen, also sei , d.h. insbesondere , also für irgendwelche , andererseits ist . Versuch das mal so umzuformen, dass du (ii) anwenden kannst.
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Bedeutet das dann nicht, das x=0 ist?
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Ja bedeutet es, kannst du begründen warum?
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Ich glaub nicht, dass das eine Begründung ist:

Ich hab mir die Gleichung bei (ii) anguckt. Also die, wo die Summe =0 ist. Und das (aus (ii)) ist in dem Fall bei uns x. Deshalb dachte ich, dass dann x=0 sein muss.
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Jo das ist die Begründung smile
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Cool. smile

Ist das dann der Beweis?
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Ja smile
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Und wie würde man das mathematisch schreiben?
Johannes91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Was meinst du genau?
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume, Aussagen äquivalent
Ich meinte, wie man das zu einem mathematischen Beweis "wandelt".

Oder kann man das so schreiben:

Sei . Das bedeutet: und das gillt: für . Außerdem ist . Als Vorraussetzung gilt die (ii) Aussage. Es lässt sich schlussfolgern das x=0, da mit aber auch also ist und damit x=0.
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