Operatornorm

28.12.2012, 18:04	godchannel	Auf diesen Beitrag antworten »
Operatornorm Meine Frage: Wenn T ein Operator ist und die Operatornorm kleiner 1 ist, also $\begin{eqnarray} \lVert T\rVert <1 \end{eqnarray}$ , dann gilt doch $\begin{eqnarray} \lVert T^n\rVert\leq\lVert T\rVert^n \end{eqnarray}$ , oder? Wie beweist man das? (Oder gilt diese Abschätzung immer?) Meine Ideen: ich hab keine so wirkliche ahnung! Sei $\begin{eqnarray} \lVert T\rVert <1 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \lVert T^n\rVert=\sup\limits_{\lVert x\rVert=1}\lVert T^n x\rVert=... \end{eqnarray}$ Und weiter? Ich komm nicht drauf.
28.12.2012, 19:11	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Operatornorm Das gilt nicht nur für $\begin{eqnarray} \lVert T\rVert<1 \end{eqnarray}$ . Zeigen kann man das mit der Submultiplikativität der Operatornorm bzw. der Definition der Beschränktheit, d.h. $\begin{eqnarray} \lVert Tx\rVert\leq\lVert T\rVert\lVert x\rVert \end{eqnarray}$ .

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