Epsilon-Delta-Definition

28.12.2012, 21:31

Tesserakt

Epsilon-Delta-Definition

Guten Abend!

Bekanntlich ist ja $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) = b \end{eqnarray*}$ , wenn
$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0: (\exists \delta > 0: (|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon)) \end{eqnarray*}$ wahr ist.

Nun habe ich mir folgende Gedanken gemacht:
Angenommen, $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ erfüllt darüber hinaus die Aussage $\begin{eqnarray*} -\varepsilon < b < \varepsilon \end{eqnarray*}$ . Folgt hieraus $\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} (-\varepsilon, \varepsilon) \end{eqnarray*}$ bekanntlich die Epsilon-Umgebung von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist?

Danke im Voraus für konstruktive Denkanstöße.

28.12.2012, 22:18

weisbrot

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RE: Epsilon-Delta-Definition
wenn du meinst, dass $\begin{eqnarray*} \forall\epsilon > 0: -\epsilon<b<\epsilon \end{eqnarray*}$ , dann ist sicher b=0, oder wie^^
lg

28.12.2012, 23:06

Tesserakt

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Ich wollte zeigen, dass kein $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) = b \end{eqnarray*}$ existiert.

Dazu bediente ich mich eines "Epsilon-Delta"-Beweises.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
Angenommen, der Grenzwert existiert. Dann existiert zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} |f(x) - b| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x| < \delta \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{\delta}{2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x_2 = -\frac{\delta}{2} \end{eqnarray*}$ .
Folglich gilt
$\begin{eqnarray*} |f(x_1) - b| < \varepsilon \wedge |f(x_2) - b| < \varepsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left|\frac{2}{\delta} - b\right| < \varepsilon \wedge \left|-\frac{2}{\delta} - b\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Aus der ersten Teilungleichung folgt $\begin{eqnarray*} b > \frac{2}{\delta} - \varepsilon \; \wedge \; b < \varepsilon + \frac{2}{\delta} \Leftrightarrow \frac{2}{\delta} - \varepsilon < b < \varepsilon + \frac{2}{\delta} \end{eqnarray*}$ .
Wegen $\begin{eqnarray*} \varepsilon, \delta > 0 \end{eqnarray*}$ gilt offenbar $\begin{eqnarray*} b < 0 \end{eqnarray*}$ .
Auch gilt $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\delta} - \varepsilon > -\varepsilon \end{eqnarray*}$ und daher auch $\begin{eqnarray*} b > -\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ erfüllt somit die Ungleichung $\begin{eqnarray*} -\varepsilon < b < 0 \end{eqnarray*}$ .

Aus der zweiten Teilungleichung folgt analog $\begin{eqnarray*} b > -\varepsilon - \frac{2}{\delta} \; \wedge \; b < \varepsilon - \frac{2}{\delta} \Leftrightarrow -\varepsilon - \frac{2}{\delta} < b < \varepsilon - \frac{2}{\delta} \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{\delta} < 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \varepsilon -\frac{2}{\delta} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Folglich erfüllt $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} b < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Also gilt $\begin{eqnarray*} -\varepsilon < b < \varepsilon \end{eqnarray*}$ , woraus $\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$ folgt. Allerdings gilt auch $\begin{eqnarray*} b < 0 \end{eqnarray*}$ , was ein Widerspruch ist.

Folglich existiert kein $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b = \lim_{x \to 0} f(x) \end{eqnarray*}$ - was zu beweisen war.

Meine Frage: Ist diese letzte Schlussfolgerung, dass $\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, erlaubt?

28.12.2012, 23:26

weisbrot

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wenn du in deinem beweis über epsilon und delta sprichst, dann meinst du damit immer das epsilon und delta aus der anfangsaussage (annahme), aus der du alles ableitest. d.h. formal hast du doch implizit vor jeder aussage immernoch " $\begin{eqnarray*} \forall\epsilon >0\exists\delta >0 : \end{eqnarray*}$ " stehen, weshalb das nach dem was ich im 1. post geschrieben hab stimmt.
lg

28.12.2012, 23:28

Tesserakt

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Also ist der Beweis soweit richtig?

Vielen Dank. Wink

29.12.2012, 00:09

Fragen über Fragen

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Zitat:

Original von Tesserakt

Wegen $\begin{eqnarray*} \varepsilon, \delta > 0 \end{eqnarray*}$ gilt offenbar $\begin{eqnarray*} b < 0 \end{eqnarray*}$ .

Wieso eigentlich?

29.12.2012, 01:48

Tesserakt

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Tatsächlich. Mir ist ein Fehler unterlaufen. Dies ist wirklich ein Trugschluss.
Ich hoffe, der Beweis ist so richtig.

Zitat:

Man zeige: Es existiert kein $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}{\frac{1}{x}} = b \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
Angenommen, der Grenzwert existiert. Dann existiert zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} |f(x) - b| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x| < \delta \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{\delta}{2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x_2 = -\frac{\delta}{2} \end{eqnarray*}$ .
Folglich gilt
$\begin{eqnarray*} |f(x_1) - b| < \varepsilon \wedge |f(x_2) - b| < \varepsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \left|\frac{2}{\delta} - b\right| < \varepsilon \wedge \left|-\frac{2}{\delta} - b\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Aus der ersten Teilungleichung folgt $\begin{eqnarray*} b > \frac{2}{\delta} - \varepsilon \; \wedge \; b < \varepsilon + \frac{2}{\delta} \Leftrightarrow \frac{2}{\delta} - \varepsilon < b < \varepsilon + \frac{2}{\delta} \end{eqnarray*}$ .
Auch gilt $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\delta} - \varepsilon > -\varepsilon \end{eqnarray*}$ und daher auch $\begin{eqnarray*} b > -\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Aus der zweiten Teilungleichung folgt analog $\begin{eqnarray*} b > -\varepsilon - \frac{2}{\delta} \; \wedge \; b < \varepsilon - \frac{2}{\delta} \Leftrightarrow -\varepsilon - \frac{2}{\delta} < b < \varepsilon - \frac{2}{\delta} \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{\delta} < 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \varepsilon -\frac{2}{\delta} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Folglich erfüllt $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} b < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Also gilt $\begin{eqnarray*} -\varepsilon < b < \varepsilon \end{eqnarray*}$ , woraus $\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$ folgt.

Es gilt also $\begin{eqnarray*} |f(x)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x|<\delta \end{eqnarray*}$ .
Entsprechend gilt also für $\begin{eqnarray*} 0 < x_1 = \frac{\delta}{2} < \delta \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x_1) < \varepsilon \Leftrightarrow \frac{2}{\delta} < \varepsilon \Leftrightarrow \delta > \frac{2}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} 0 < x_3 = \frac{1}{\varepsilon} < \frac{2}{\varepsilon} < \delta \end{eqnarray*}$ .
Somit gilt $\begin{eqnarray*} |f(x_3)| = \left|f\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right| = |\varepsilon| = \varepsilon \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f(x_3) \end{eqnarray*}$ liegt also nicht in der $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$ , obwohl $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ in der $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ liegt, was einen Widerspruch darstellt.
Folglich ist die Annahme falsch und die ursprüngliche Behauptung wahr. — Was zu beweisen war.

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