Integral - Fläche zwischen Kurven

Neue Frage »

Tipso Auf diesen Beitrag antworten »
Integral - Fläche zwischen Kurven
Hallo,

Eine für mich sehr schwierige Aufgabe, wo ich viele Baustellen habe.

Zitat:
Warum setze ich zwei Kurven gleich und erhalte dadurch deren Schnittpunkte?



Aufgabenstellung:
Berechne den Flächeninhalt des Flächenstücks, das von den Kurven k_1 und k_2 begrenzt wird!

-----------------------------------------------





------------------------------------------------

Mein Lösungsvorschlag:

Zitat:
Ich setze die beiden Kurven gleich und erhalte dadurch meine untere und obere Grenze der Fläche.

Zitat:
Danach schaue ich welche Fläche die obere und welche die Untere ist und subtrahiere die kleinere Fläche von der Größeren.


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------









---------------------------------------------------------------------------------------

Wie berechne ich nun die Fläche?

lg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Um die Fläche zu berechnen, kannst du eine Differenzfunktion bestimmen. Also ganz einfach



oder wie du es auch immer nennen möchtest. Die gerade berechneten Schnittpunkte von und sind dann die Nullstellen von und dann integrierst du über dieses Intervall.

Welche Funktion die "obere" oder "untere" ist spielt dabei erstmal keine Rolle. Dafür gibt es Betragsstriche.
smile
 
 
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,




Schaut mir mehr nach einer Geraden aus..
In der Angabe steht aber was von zwei Kurven.

Also ich würde dann so die Fläche berechnen.




=




Stimmt es so?
Vorstellen kann ich es mir leider überhaupt nicht.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

So kommst du zum richtigen Ergebnis. Freude

Musst du dann nur noch beachten, dass eine Fläche nicht negativ sein darf.

Veranschauliche dir den Sachverhalt mal mit Geogebra was du da berechnet hast. Das macht es am ehesten deutlich.
Plotte also mal die zwei Integrale, die du in deiner Rechnung bestimmst, und schau sie dir genau an.
smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Habe oben einen Graphen eingefügt, da ist es aber für mich nicht ersichtlich, was welche Fläche ist und warum ich hier Fläche zwei von Fläche eins abziehe..

lg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja auch nicht das was ich meine. Augenzwinkern

Du hast gerade folgendes Berechnet. Zu erst berechnest du die Fläche unterhalb der Parabel in dem Intervall -5 bis 0

Siehe Bild 2.

Dann berechnest du in dem selben Intervall die Fläche unterhalb der Geraden.

Siehe Bild 3.

Wir wollen aber die Fläche haben, die von beiden Funktionen eingeschlossen ist, und wie du nun vielleicht erkennst, steht bei den Funktionen etwas über. Diese überstehende Fläche müssen wir "abschneiden" dies geschieht durch Subtraktion.

Siehe Bild 1.

Hier müssen wir das überstehende abschneiden.

Edit: Die Reihenfolge der Bilder wurde beim upload vertauscht. Deshalb musst du es dir von oben nach unten angucken.
smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Integrale eingebe, erhalte ich folgende Flächen:
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht für mich nach einer komplett anderen Funktion aus. verwirrt
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Wie markierst du die Fläche bei GeoGebra? Du scheinst es beliebig markieren zu können und eine Frage, da ich jetzt sehr irritiert bin.

Welche Fläche suchen wir genau?
Auch den Negativen Bereich von 4x + x^2

Die Parabel ist -x?
Ist dies nicht eine Gerade?

lg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Reihenfolge der Bilder wurde beim upload vertauscht und ich hatte in einem späterem Edit auch die Nummer der Bilder angepasst.

Mit der Parabel meine ich die Funktion x^2+4x

Und mit Gerade die Funktion -x

Wir suchen die Fläche, die von beiden Funktionen begrenzt wird.

Zitat:
Aufgabenstellung:
Berechne den Flächeninhalt des Flächenstücks, das von den Kurven k_1 und k_2 begrenzt wird!


Was du bei Geogebra dazu eingeben musst wäre bei

f(x)=x^2+4x

und

g(x)=-x

Integral[f,g,-5,0]

für den Flächeninhalt den du berechnen möchtest

Integral[f,-5,0]

für das Integral unterhalb der Parabel

und

Integral[g,-5,0]

für das Integral unterhalb der Geraden.

___

Da wir den Flächeninhalt, der von beiden Funktionen begrenzt wird, suchen, ist natürlich auch der negative Bereich der Parabel wichtig.
Die x-Achse ist hier mehr oder weniger irrelevant.
smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Also meine eingegebenen Flächen sind richtig?

Da ich es genauso eingegeben habe.

Ich werde es mir eine Stunde lang genau anschauen und überlegen.

Da es für mich nicht so ersichtlich ist.
Warum die so ablauft..

lg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann ich nicht beurteilen. Die Bilder die du gepostet hast gehören meiner Meinung nach jedoch zu vollkommen anderen Funktionen. Wir sollten aber auch Geogebra, oder anderen Programmen jetzt wieder den Rücken zukehren und uns wieder der Aufgabenstellung widmen.

Ich hielt es lediglich für anschaulicher sich den Sachverhalt mal mit diesen Programmen vor Augen zuführen.


Was genau ist den jetzt noch unklar?
smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »



Ich habe die Bilder erhalten indem ich diese Integrale angewendet habe.

Was mir unklar ist.

a.
Welche Fläche ist nun genau gesucht?

b.
Warum ich die gesuchte Fläche erhalte indem ich Eine Fläche von der anderen Fläche subtrahiere.

c.
Was mit der Fläche im negativen Bereich von der Parabel passiert.

lg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

a)

Die Fläche, die von beiden Funktionen begrenzt wird. Siehe dazu auch die Aufgabenstellung.


b)

Das habe ich oben versucht anhand der Bilder zu verdeutlichen. Du berechnest die Integrale beider Funktionen in dem von dir berechnetem Intervall. Dabei ist ein Großteil der berechneten Fläche "Deckungsgleich", aber ein kleiner Teil hängt über. (siehe Bild 1 in dem Post weiter oben.)

Das gehört nicht zu der Fläche dazu, da sie ja außerhalb des von und begrenzten Gebietes liegt.

c)

Die negative Fläche von der Parabel interessiert eigentlich erstmal gar nicht.


Vielleicht wird dir das ganze klarer, wenn du es mal mit der Idee der Differenzfunktion probierst.
Das finde ich auch viel anschaulicher, mal davon abgesehen, dass es weniger Arbeit ist.
smile

Ansonsten kann ich deine Fragen nicht wirklich befriedigend beantworten. Ich würde mich mehr oder weniger wiederholen.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht Warum:
Zitat:

Zu erst berechnest du die Fläche unterhalb der Parabel in dem Intervall -5 bis 0

Siehe Bild 2.



Diese Fläche ist Bild1:



Ich dachte das es diese Fläche ist:
Alles was die Gerade und Parabel einschließt.

lg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dass Bild ist das Integral unterhalb der Parabel.

Zu deinen Bildern noch einmal.
Es ist ein Unterschied, ob du die Stammfunktion der Funktion in Geogebra eingibst, oder die "original" Funktion. Du hast, wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, die Stammfunktion eingegeben und dann mittels Geogebra nochmals integriert. Das ist falsch. Die Integral-Funktion integriert die Funktion ja ohnehin nochmal. Es reicht wenn du die "original" Funktion nimmst und dann das Programm nutzt.

Das sind zwei unterschiedliche Funktionen die du da hättest.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu habe ich dass hier gefunden:

Zitat:
Vielleicht wird dir das ganze klarer, wenn du es mal mit der Idee der Differenzfunktion probierst.


http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/diff_01_02_zuf.htm

Werde es mir durchlesen und versuchen es zu verstehen.

Danke.

lg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, bei Fragen einfach wieder melden. Ich halte es mit der Differenzfunktion für einfacher, auch was die Rechnung angeht.

Edit: Das was du dir da aber anguckst ist der Differenzenquotient. Das hat mit Integralrechnung nichts zu tuen.
smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gmasterflash
Nein, dass Bild ist das Integral unterhalb der Parabel.

Zu deinen Bildern noch einmal.
Es ist ein Unterschied, ob du die Stammfunktion der Funktion in Geogebra eingibst, oder die "original" Funktion. Du hast, wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, die Stammfunktion eingegeben und dann mittels Geogebra nochmals integriert. Das ist falsch. Die Integral-Funktion integriert die Funktion ja ohnehin nochmal. Es reicht wenn du die "original" Funktion nimmst und dann das Programm nutzt.

Das sind zwei unterschiedliche Funktionen die du da hättest.


Jetzt verstehe ich warum dies richtig ist.
Da wir bei der Parabel dieses Stück zuviel haben und die Fläche des Integral dasselbe enthält, griegen wir es weg indem wir es subtrahieren und nehmen nochmals den Betrag von dem Ergebnis, da wir etwas Fläche zuviel haben.


Was ich nicht verstehe ist warum dies die Fläche der Parabel ist ..
Immer die Fläche unter der Parabel, Gerade, aber demnach wäre die negative Fläche von der Parabel nicht unter ihr.

lg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehst du jetzt nicht, wieso es die Fläche unter der Parabel ist, oder wieso es die Fläche zwischen den beiden Funktionen ist?
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich beides.

a.

Warum die Parabel diese Fläche hat.

b.
Warum diese Fläche die gesucht ist herauskommt wenn wir es subtrahieren.

Weil wir dann die Parabel von der Fläche des Dreieckes abziehen.

Dann aber im positiven y-Werte Bereich eine Fläche dazu erhalten, wenn du verstehst was ich meine.

Quasi

1 - 3 = -2 Fläche

Aber wir nehmen ja die gesamte Fläche der Parabel und ziehen sie von der gesamten Fläche des Dreieckes ab.

lg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

a)

Das ist doch gerade das, was die Integralrechnung uns lehrt. Wir berechnen in dem Intervall von -5 bis 0 den Flächeninhalt unterhalb der Parabel. verwirrt

b)

Wenn wir deine Berechnungsvorschrift erstmal ausrechnen, dann erhalten wir das Ergebnis:



Da es keine negativen Flächen gibt, müssen wir Betragsstriche setzen und erhalten so unsere

Zu erste berechnen wir das Integral unter der Parabel und dann das Integral unter der Geraden. Wir wollen aber nur die Fläche haben, die auch in beiden tatsächlich vorkommt. Wenn wir es nun subtrahieren, dann bleibt das übrig, was "beide Funktionen gemeinsam haben"

Eigentlich versuche ich dir das schon die ganze Zeit zu erklären. Besser kann ich es wirklich nicht. Guck dir nochmal die Bilder an. Vielleicht macht es dann klick, aber ich wiederhole mich eigentlich nur. traurig
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar.

Danke für deine Mühe und Hilfe.

lg
Freude
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich befürchte zwar, dass noch nicht alles klar ist, aber besser erklären könnte ich es jetzt wirklich nicht. Am besten morgen nochmal etwas nüchterner auf die Aufgabe drauf gucken. Dann macht es bestimmt klick.

Gern geschehen. Wink

smile
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Ich weiß nicht wie du die Flächen schrafierst auf Geogebra.

Aber hier das gleiche Beispiel um 4 hinaufgesetzt.

Hier Würde ich auch die Fläche der Parabel von der Fläche der Geraden abziehen und meine gesuchte Fläche erhalten. Die negative wäre aber dies ist egal.

Man könnte auch die Fläche der Parabel von der Fläche der Geraden abziehen und würde ein positives Ergebnis erhalten was unserer gesuchten Fläche entspricht.


Im Ausgangsbeispiel ist dies jedoch nicht möglich. Der Grund scheint mir im negativen Teil der Parabel zu liegen.

Mit Zunge
Danke nochmals für deine Geduld.

lg
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dabei ist ein Großteil der berechneten Fläche "Deckungsgleich", aber ein kleiner Teil hängt über. (siehe Bild 1 in dem Post weiter oben.)


Dieser Satz stimmt aber nicht.

Die berechnete Flächen sind nicht "Deckungsgleich" sondern nur der Teil der Parabel welche wir nicht brauchen zur Berechnung der Fläche die wir benötigen.

Freude
Aber ich bin mir sicher das du es richtig gemeint hast. Freude Freude Freude
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

Warum ist mein Ergebnis negativ?
Wann und Wo und Warum muss ich einen Betrag nehmen?
Wovon?

Wie würde meine Rechnung dann aussehen?

Danke.
Lg
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »