Reihe: kann man das Summenzeichen bei Bruch in Zähler und Nenner ziehen?

29.12.2012, 16:08

Duude

Reihe: kann man das Summenzeichen bei Bruch in Zähler und Nenner ziehen?

Hallo,

ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen und da ist mir eine Stelle unklar. Und zwar handelt es sich um diesen Schritt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^{ks}}=\frac{1}{\sum_{k=0}^{\infty}p^{ks}} \end{eqnarray*}$

Dabei ist s eine reelle Zahl größer 0.

Darf ich das einfach so machen? Bei der linken Seite würde ich die Einsen im Nenner ja noch mit aufsummieren, bei der rechts Seite tue ich das nicht mehr.

Kann ich dann sagen, dass das gilt, da ich das Summenzeichen einzeln in Zähler und Nenner ziehe und im Zähler ergibt das ganze 1, da ich bei der 1 kein k stehen habe?
also so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^{ks}}=\frac{\sum_{k=0}^{\infty}1}{\sum_{k=0}^{\infty}p^{ks}}=\frac{1}{\sum_{k=0}^{\infty}p^{ks}} \end{eqnarray*}$

(noch zum Hintergrund: Ich mache diesen Schritt um die geometrische Reihe im Nenner anwenden zu können)

lg
duude

29.12.2012, 16:11

Che Netzer

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RE: Reihe: kann man das Summenzeichen bei Bruch in Zähler und Nenner ziehen?

Zitat:

Original von Duude
Darf ich das einfach so machen? Bei der linken Seite würde ich die Einsen im Nenner ja noch mit aufsummieren, bei der rechts Seite tue ich das nicht mehr.

Kann ich dann sagen, dass das gilt, da ich das Summenzeichen einzeln in Zähler und Nenner ziehe und im Zähler ergibt das ganze 1, da ich bei der 1 kein k stehen habe?

Das ergibt für mich keinen Sinn... Welche Einsen im Nenner?

Jedenfalls kannst du die Summe nicht in den Nenner zählen, es ist ja auch im allgemeinen $\begin{eqnarray*} \frac1a+\frac1b\neq\frac1{a+b} \end{eqnarray*}$ .

Aber die Formel für geometrische Reihen kannst du auch direkt anwenden.

Edit: Übrigens ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty1=\infty\neq1 \end{eqnarray*}$ .

29.12.2012, 16:23

Duude

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Danke für deine Hilfe. Irgendwie kam mir das ganze komisch vor und ich weiß jetzt auch warum smile

Zitat:

Das ergibt für mich keinen Sinn... Welche Einsen im Nenner?

Ich meinte natürlich die Einsen im Zähler...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty1=\infty\neq1 \end{eqnarray*}$ .

Stimmt... deswegen gehts schief - ich hatte mich auch schon gewundert.

Zitat:

Aber die Formel für geometrische Reihen kannst du auch direkt anwenden.

Ach jetzt... ich weiß, dass gilt $\begin{eqnarray*} 1 = 1^k \end{eqnarray*}$ (k geht von 0 bis unendlich, k ist eine ganze Zahl)

Damit gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1^k}{p^{ks}}=\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{p^{s}})^k=(1-\frac{1}{p^s})^{-1} \end{eqnarray*}$

und damit bin ich am Ziel. Das zweite Gleichheitszeichen folgt wegen der Formel für die geometrische Reihe.

Ich denke, das müsste jetzt richtig sein, oder?

29.12.2012, 16:27

Che Netzer

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Jetzt hört sich alles schon besser an smile

Aber es geht nicht nur schief, weil $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty1 \end{eqnarray*}$ divergiert, sondern wie gesagt auch, weil man Summen nicht auf Zähler und Nenner verteilen kann.

29.12.2012, 16:36

Duude

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Zitat:

sondern wie gesagt auch, weil man Summen nicht auf Zähler und Nenner verteilen kann

Ja, das war mir nach deiner Antwort relativ schnell klar smile

Vielen Dank für die Hilfe.

lg duude

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