Grenzwert der n-ten Wurzel aus n-Fakultät

29.12.2012, 17:19

Fakultät

Grenzwert der n-ten Wurzel aus n-Fakultät

Meine Frage:
Hallo,

ich soll $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n!} \to \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ in drei Schritten beweisen.

Dafür habe ich zunächst $\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \le \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} < 3 \end{eqnarray*}$ bewiesen. Der nächste Beweis soll die folgende Ungleichung beweisen:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{3}\right)^n \le \frac{1}{3} n! \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe das vergebens mittels vollständiger Induktion versucht. Ich vermute, dass man dafür die bewiesene, erste Ungleichung verwenden soll (sonst würde der Beweis in Schritten keinen Sinn machen). Ich habe jedoch ehrlich gesagt keinen Ansatz gefunden, wie ich diese für die Zweite verwenden soll ...

Um Hilfe wird gebeten Augenzwinkern

29.12.2012, 19:04

carm561

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RE: Grenzwert der n-ten Wurzel aus n-Fakultät
Induktion geht schon. Vielleicht reicht schon die Bemerkung, dass $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

29.12.2012, 20:06

Fakultät

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RE: Grenzwert der n-ten Wurzel aus n-Fakultät

Zitat:

Original von carm561
Induktion geht schon. Vielleicht reicht schon die Bemerkung, dass $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

Nun, mir bereitet natürlich vor allem der Induktionsschritt Probleme. Multipliziert man $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{3}\right)^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ erhält man $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+1}{3}\right)^n \end{eqnarray*}$ . Also genau das, was man für den Induktionsschritt auf der linken Seite benötigt ... Damit müsste man eigentlich etwas anfangen können, es gelingt mir jedoch nicht ... Vielleicht hättest du noch einen Ratschlag Augenzwinkern

29.12.2012, 20:23

carm561

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RE: Grenzwert der n-ten Wurzel aus n-Fakultät
Nicht ganz genau...für den Induktionsschritt betrachtest du doch $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+1}{3}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

29.12.2012, 20:31

Fakultät

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RE: Grenzwert der n-ten Wurzel aus n-Fakultät

Zitat:

Original von carm561
Nicht ganz genau...für den Induktionsschritt betrachtest du doch $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+1}{3}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Nun, dieses könnte man noch ein weiteres mal mit sich selbst multiplizieren. Ich weiß jedoch nicht wirklich, ob mich das weiter bringt. Mir bereitet vor allem die rechte Seite Probleme.

Ich habe im Induktionsschritt stehen:
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+1}{3}\right)^{n+1} = \left(\frac{n}{3}\right)^n n^{-n} \frac{1}{3} (n+1)^{n+1} \le \frac{1}{3} n! {\,} n^{-n} \frac{1}{3} (n+1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Der letzte Ausdruck ist jedoch für mich momentan nicht weiter förderlich ... eine Idee?

29.12.2012, 20:57

carm561

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RE: Grenzwert der n-ten Wurzel aus n-Fakultät
Ah, da führte dich mein Hinweis auf die falsche Fährte. Bitte um Entschuldigung. Im Grunde bist du fertig
$\begin{eqnarray*} n^{-n}(n+1)^{n+1}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n(n+1) \end{eqnarray*}$
Jetzt meinen Hinweis von rechts nach links lesen und benutzen, was du schon gezeigt hast

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