Metrische Vollständigkeit C^0

29.12.2012, 22:51

Anahita

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Metrische Vollständigkeit C^0

Hi

Ich verstehe den Beweis zu der metrischen Vollständigkeit von C^0 bezüglich der Supremumsnorm nicht ganz und werde ihn stückweise aufschreiben:

Sei $\begin{eqnarray*} (f_{k})_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} C^{0}(\overline{\Omega};R^{n}) \end{eqnarray*}$ und es gelte: $\begin{eqnarray*} \| f_{l}-f_{k}\|_{C^0}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (k,l \rightarrow \infty) \end{eqnarray*}$

Nun steht Folgendes: Für jedes $\begin{eqnarray*} x_{0} \in \overline{\Omega} \end{eqnarray*}$ ist die Folge $\begin{eqnarray*} (f_{k}(x_{0}))_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge in R^n wegen:

$\begin{eqnarray*} | f_{l}(x_{0})- f_{k}(x_{0}) | \leq sup_{x \in \Omega} | f_{l}(x)- f_{k}(x) | = \| f_{l}-f_{k}\|_{C^0} \rightarrow 0 <br /> \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (k,l \rightarrow \infty) \end{eqnarray*}$

Ich würde es verstehen, wenn x und x_0 aus derselben Menge wären, aber x_0 ist ja aus einer grösseren Menge als x? Oder ist das ein Fehler im Skript, das x nur in Omega sein soll statt im Abschluss von Omega?

Thx :-)

29.12.2012, 23:04

Che Netzer

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RE: Metrische Vollständigkeit C^0
Das hört sich schon richtig an, denn $\begin{eqnarray*} f_k(x_0) \end{eqnarray*}$ muss grundsätzlich Null sein, da die Funktionen ja kompakten Träger haben sollen.
Wegen der Normkonvergenz folgt die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} (f_k(x))_k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in\Omega \end{eqnarray*}$ , die auf $\begin{eqnarray*} \partial\Omega \end{eqnarray*}$ ist aber noch nicht gegeben.
Dass man im Supremum nur $\begin{eqnarray*} x\in\Omega \end{eqnarray*}$ betrachtet, liegt erstens daran, dass die Funktionen auf dem Rand sowieso Null sind. Aber zweitens könnte man darauf auch wegen der Stetigkeit verzichten.

29.12.2012, 23:51

Anahita

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Ok, das ist alles für mich ziemlich neu.

Also was ein "Träger" ist haben wir gar nicht behandelt. Aber wenn ich wikipedia richtig verstehe ist das der Abschluss der Teilmenge M der Definitionsmenge für den der Funktionswert ungleich Null ist. Als per Definition abgeschlossenes Intervall in R^n wäre ein Träger ja sowieso kompakt, aber was du meinst, ist, dass M selbst schon abgeschlossen sein soll - woraus folgt dass der Rand von M auch zum Träger der Funktion gehören müsste, oder?

Was ich nicht verstehe: Warum gehst du den überhaupt davon aus, dass die Funktionswerte auf $\begin{eqnarray*} \overline{\Omega} \end{eqnarray*}$ ungleich Null sein sollen? Was wäre denn, wenn dem nicht so wäre?

29.12.2012, 23:58

Che Netzer

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Moment, mit $\begin{eqnarray*} C^0 \end{eqnarray*}$ bezeichnet ihr dann nur den Raum der stetigen Funktionen?
In dem Fall ist eigentlich nur der letzte Satz aus meinem ersten Beitrag sinnvoll.

Ich kenne nämlich $\begin{eqnarray*} C_0 \end{eqnarray*}$ als Raum der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger und habe dabei wohl übersehen, dass $\begin{eqnarray*} \overline\Omega \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ im Argument steht – und dass teilweise $\begin{eqnarray*} C^0 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ für stetige Funktionen verwendet wird.

30.12.2012, 00:16

Anahita

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Also wir haben das wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} C^{0}(\overline{\Omega}) = C^{0}(\overline{\Omega};R^n) = \{f: \Omega \rightarrow R^n \end{eqnarray*}$ f ist stetig ergänzbar auf $\begin{eqnarray*} \overline{\Omega}\} \end{eqnarray*}$

30.12.2012, 00:17

Che Netzer

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Ja, also ohne kompakte Träger – vergiss das also Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist denn trotzdem klargeworden, wieso man nur $\begin{eqnarray*} x\in\Omega \end{eqnarray*}$ im Supremum zu betrachten glaubt?

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30.12.2012, 00:45

Anahita

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Jetzt hab ich aber den Begriff des Trägers schon mal gehört smile

smile

Ich denke, es ist mir noch nicht ganz klar. Dass die Funktionswerte auf dem Rand Null sind gilt nun also gar nicht? Das zweite Argument bezüglich der Stetigkeit aber wäre wie folgt: Weil f stetig fortsetzbar ist auf dem Rand von Omega gilt dass $\begin{eqnarray*} lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_{0}) \end{eqnarray*}$ ..weshalb betrachtet man denn nicht auch links nicht nur x statt explizit x_0?

30.12.2012, 00:51

Che Netzer

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Ja, die Funktionen müssen auf dem Rand nicht Null sein.

Zur Stetigkeit:
Wenn wir das Supremum der Funktionswerte auf einem abgschlossenen Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \overline\Omega \end{eqnarray*}$ betrachten, können wir die "Randwerte" stets mit Funktionswerten auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ approximieren, das Supremum auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ genügt also.
Es ist dann nur nicht garantiert, dass es auch angenommen wird; was es bei $\begin{eqnarray*} \overline\Omega \end{eqnarray*}$ wäre ( $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist ja wohl beschränkt).

30.12.2012, 01:03

Anahita

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Zitat:

Original von Che Netzer

Wenn wir das Supremum der Funktionswerte auf einem abgschlossenen Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \overline\Omega \end{eqnarray*}$ betrachten, können wir die "Randwerte" stets mit Funktionswerten auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ approximieren, das Supremum auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ genügt also.

Ja, das hab ich schon verstanden. Aber meine Frage war dann, falls es keine Rolle spielt ob man x_0 oder x als Funktionswert nimmt, weshalb man das nicht einheitlich macht? Weshalb verwendet man nicht überall als Argument x? Oder x_0?
Vor allem ist die Surpemumsnorm doch in R^n nur auf abgeschlossenen Mengen definiert, da nur dann stetige Funktionen ihr Supremum/Infimum auch annehmen...?

30.12.2012, 01:11

Che Netzer

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Geht es dir einfach um die Bezeichnung der Variablen? Da ist es nur so, dass $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ fest ist, über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wird das Supremum gebildet.

Und die Supremumsnorm ist auf allen Räumen von (wesentlich) beschränkten Funktionen definiert, Räume stetiger Funktionen auf kompakten Mengen bilden da ein Beispiel.
Auf allen anderen Teilmengen des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ lassen sich unbeschränkte stetige Funktionen finden.

30.12.2012, 13:02

Anahita

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Hey!

Zitat:

Original von Che Netzer
Geht es dir einfach um die Bezeichnung der Variablen?

Nein, so würde ich das nicht sagen. Schliesslich handelt es sich ja nicht um Variablen derselben Menge. Es wird explizit festgehalten, dass $\begin{eqnarray*} x_{0} \in \overline{\Omega} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \Omega \end{eqnarray*}$ . Warum sollte man eine solche Unterscheidung vornehmen, wenn es im Beweis dann doch keine Rolle spielt aus welcher Menge die Variable stammt? Das leuchtet mir nicht ein. Aber da ich die Ungleichung grundsätzlich verstanden habe, können wir diese Frage von mir aus beiseitelassen.

Zitat:

Original von Che Netzer
Und die Supremumsnorm ist auf allen Räumen von (wesentlich) beschränkten Funktionen definiert, Räume stetiger Funktionen auf kompakten Mengen bilden da ein Beispiel.
Auf allen anderen Teilmengen des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ lassen sich unbeschränkte stetige Funktionen finden.

Wir haben es nur auf kompakte Mengen definiert.

Aber:
- Warum wählt man denn überhaupt festes x_0? Könnte man die Behauptung oben nicht für beliebige x aus Omega machen und hätte damit sofort gleichmässige Konvergenz?

30.12.2012, 13:10

Che Netzer

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$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist erst einmal irgendein fester Wert. Dann soll gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} (f_k(x_0)) \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge ist. Das tut man mit Supremumsbildung über $\begin{eqnarray*} x\in\Omega \end{eqnarray*}$ , da die Funktionen der Folge rein formal nur auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ definiert sind – spielt aber kaum eine Rolle.

Zitat:

Warum wählt man denn überhaupt festes x_0? Könnte man die Behauptung oben nicht für beliebige x aus Omega machen

$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist doch beliebig verwirrt

verwirrt

30.12.2012, 14:54

Anahita

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Zitat:

Original von Che Netzer
$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist erst einmal irgendein fester Wert. Dann soll gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} (f_k(x_0)) \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge ist. Das tut man mit Supremumsbildung über $\begin{eqnarray*} x\in\Omega \end{eqnarray*}$ , da die Funktionen der Folge rein formal nur auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ definiert sind – spielt aber kaum eine Rolle.

Ah so...aber warum?

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Warum wählt man denn überhaupt festes x_0? Könnte man die Behauptung oben nicht für beliebige x aus Omega machen

$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist doch beliebig verwirrt

verwirrt

Vielleicht anders gefragt: Warum folgt denn mit der Cauchy-Konvergenz hier nicht auch gleichmässige Konvergenz?

30.12.2012, 14:59

Che Netzer

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Man hätte das Supremum auch über alle $\begin{eqnarray*} x\in\overline\Omega \end{eqnarray*}$ bilden können, hat man einfach nicht getan. Wie gesagt vermutlich deswegen, weil man rein formal nur Konvergenz auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ hat (siehe eure Definition von $\begin{eqnarray*} C^0 \end{eqnarray*}$ ).

Und die punktweise Konvergenz, also die von allen $\begin{eqnarray*} (f_k(x_0)) \end{eqnarray*}$ impliziert noch keine gleichmäßige Konvergenz.

30.12.2012, 16:27

Anahita

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Hey!

Ja, ich weiss schon, dass punktweise Konvergenz nicht gleichmässige Konvergenz impliziert.

Aber ich verstehe sozusagen schon in the first place nicht, warum wir hier nur punktweise Konvergenz und nicht sogar gleichmässige Konvergenz haben sollen.

Denn es gilt ja, wenn:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \ \ \exists n_{0} \in \mathbb N: \forall m,n \geq n_{0}: \|f_{n} - f_{m}\| < \epsilon \end{eqnarray*}$

dann ist (f_k) gleichmässig konvergent im Sinne der Normkonvergenz.

Und dieses Cauchy-Kriterium für Funktionenfolgen ist doch hier erfüllt?

30.12.2012, 16:30

Che Netzer

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Punktweise Konvergenz liefert zunächst einmal eine Grenzfunktion.

Dass Cauchy-Folgen in $\begin{eqnarray*} C^0 \end{eqnarray*}$ konvergieren, soll ja überhaupt erst gezeigt werden.

30.12.2012, 16:35

Anahita

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Ja, schon :.D

Aber WARUM wir hier nur punktweise Konvergenz haben hast du mir immer noch nicht erklärt.

Punktweise und gleichmässige Konvergenz unterscheiden sich doch durch die Reihenfolge der Quantoren von epsilon und x - aber wie ich die Quantoren oben lesen muss, so dass ich sehe, dass es sich tatsächlich punktweise Konvergenz habe, erschliesst sich mir nicht ganz, weisst du was ich meine?

30.12.2012, 16:39

Che Netzer

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Vielleicht erklärt das hier die Vorgehensweise:
Wir haben eine Cauchy-Folge in $\begin{eqnarray*} C^0 \end{eqnarray*}$ .
Dann zeigen wir, dass auch punktweise $\begin{eqnarray*} (f_k(x_0)) \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge ist.
Die Vollständigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ liefert die punktweise Konvergenz.
Damit erhalten wir eine punktweise Grenzfunktion und anschließend soll die gleichmäßige Konvergenz dagegen gezeigt werden.

30.12.2012, 22:23

Anahita

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Ah ja, dann ist mir tatsächlich alles klar! Vielen Dank!

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