Taylorapproximation von Kosinus Hyperbolicus

29.12.2012, 23:22

DerMartin

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Taylorapproximation von Kosinus Hyperbolicus

Hallo zusammen.
Ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Zitat:

Zeigen Sie, dass die Kettenlinie
$\begin{eqnarray*} y = a *cosh(x/a) \quad mit \quad a >0 \end{eqnarray*}$

für x € [-a,a] näherungsweise durch die Parabel

$\begin{eqnarray*} y=a+x^2 / 2a \end{eqnarray*}$

ersetzt werden kann.

Durch ein Taylorapproximation bin ich aber erst soweit gekommen:

$\begin{eqnarray*} T_2(x)= cosh(x/a)(a + x^2/2a) + x*sinh(x/a) \end{eqnarray*}$

Auf die Form bin ich ganz einfach durch Anwenden der Taylorformel, Abbrechen nach dem 2. Glied und Ausklammern gekommen. Ich bin von der Enwicklungstelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ausgegangen. Fand das anhand des "symmetrischen Definitionsbereiches" irgendwie sinnvoll.

Das Problem ist anscheinend gerade dass ich irgendwelche Eigenschaften von sinh und cosh nicht kenne, welche dazu führen könnten, dass sich diese in der oben angegeben Form rauskürzen lassen. Die $\begin{eqnarray*} a+x^2/2a \end{eqnarray*}$ sind ja schon zu erkennen.
Hat jemand einen Tipp für mich?
Desweiteren würde mich brennend interessieren ob mir dieses a etwas wichtiges sagt. Das einzige was ich bis jetzt erkennen konnte ist, dass der Ausdruck x/a nie größer als 1 bzw kleiner als -1 werden kann da x € [-a,a].
Vielen Dank schonmal für die Hilfe.

mfg

29.12.2012, 23:26

Che Netzer

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RE: Taylorapproximation von Kosinus Hyperbolicus

Zitat:

Original von DerMartin
Ich bin von der Enwicklungstelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ausgegangen.

Den solltest du aber auch vollständig einsetzen. Überall dahin, wo dieser Wert hingehört.

30.12.2012, 12:44

DerMartin

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Ach ich Idiot. ICh sollte so spät kein Mathe mehr machen. smile

smile

Wenn mich nicht alles teuscht, dann ist cosh(0)=1 und sinh(0)=0 und dann kürzt sich alles zum ausdruck weg.

Die zweite Teilaufgabe beschäftigt sich mit der Fehlerabschätzung. Dazu komm ich später nochmal.

mfg

30.12.2012, 12:59

Che Netzer

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Die Gleichungen bzw. Funktionswerte stimmen – ich hoffe, die wurden nicht nur so erraten, dass alles passt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten: "täuscht" schreibt sich aber schon seit langem mit ä, nicht mit e geschockt

geschockt

Und bei weteren Fragen würde ich empfehlen, ein neues Thema zu eröffnen, das ist dann übersichtlicher

30.12.2012, 14:31

DerMartin

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Ich weiß, dass der cosh einen parabelförmigen Graphen besitzt der sein Minimum beim [0;1] hat und der sinh durch den Koordinatenursprung geht. smile

smile

Die Fehlerabschätzung bezieht sich aber direkt auf diese Aufgabe, daher dachte ich es wäre übersictlicher sie hier zu machen.

Der Zweite Teil der im ersten Post zitierten Aufgabe lautet einfach:

Zitat:

Schätzen Sie den Approximationsfehler ab.

ICh hab einfach die Formel von Lagrange angewendet.

$\begin{eqnarray*} R_2 (x,x_e,a) \leq \frac {|f^{(2+1)}(a)|}{(2+1)!} \cdot |a-0|^{(2+1)} \\ \leq \frac {a}{6} sinh(1) \end{eqnarray*}$

Weiter kann ich das Ergebnis nicht vereinfachen. Ich habe intuitiv den Maximalfehler bei x=a angenommen. Wie kann ich das aber Mathematisch sauber in einer Klausur begründen?
Lässt sich das Ergebnis noch weiter vereinfachen?

mfg

30.12.2012, 14:47

Che Netzer

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Das sieht noch komisch aus. Ich hätte
$\begin{eqnarray*} \sup_{\xi\in[0,x]}\frac{\lvert f'''(\xi)\rvert}{3!}x^3 \end{eqnarray*}$
als Restgliedabschätzung verwendet (für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ).
Und dann dürfte die Monotonie des Sinus Hyperbolicus helfen.

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30.12.2012, 21:34

DerMartin

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Tut mir leid Che Netzer, aber ich versteh nicht was du mir damit sagen willst.
Wir haben nur Mathe für Ingenieure und nachdem ich nochmal die Vorlesungsskripte durchgesehen habe, bin ich mir ziemlich sicher, dass wir mit dem Supremum nicht arbeiten.
Wie mir die Monotonie des sinh, die mir bewusst ist, aber ich nicht mathematisch beweisen kann, weiterhelfen soll weiß ich auch nicht.

Dass der Fehler bei x=a am größten sein müsste, hab ich mir gedacht, weil x höchstens den Wert von a annehmen kann und sowohl das Taylorpolynom 2. Grades, als auch der cosh eine Hyperbel sind.
...
Jetzt wo ich darüber nachdenke muss das allerdings auch nicht unbedingt ein Garant dafür sein, dass an den Rändern des Def.bereiches der Fehler am größten ist. verwirrt

verwirrt

Also als Restgliedabschätzung nach Lagrange habe ich folgende Formel kennen gelernt:

$\begin{eqnarray*} |R_n (x,x_e)| \leq \frac {|f^{(n+1)}(c)|}{(n+1)!} \cdot |x-x_0|^{(n+1)} \end{eqnarray*}$

Wobei c der Punkt mit dem größten Fehler sein soll.

Den kennt man aber in aller Regel nicht...

Ich brauche wohl leider ein zwei Denkanstöße mehr um zu verstehen, worauf du hinaus willst.

mfg

30.12.2012, 21:46

Che Netzer

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Die Formel stimmt auch, $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist dann der Wert, an dem diese Ableitung am größten wird. D.h. man kann $\begin{eqnarray*} \lvert f'''(c)\rvert \end{eqnarray*}$ durch den größtmöglichen Funktionswert zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abschätzen/ersetzen.
In diesem Fall haben wir $\begin{eqnarray*} \sinh'''=\sinh \end{eqnarray*}$ , unser Restglied kann also nach oben durch
$\begin{eqnarray*} \frac{\lvert\sinh(c)\rvert}6\lvert x\rvert^3 \end{eqnarray*}$
abgeschätzt werden, wobei $\begin{eqnarray*} c\in[0,x] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} c\in[x,0] \end{eqnarray*}$ . Wenn wir aus diesen Intervallen einen (betragsmäßig) möglichst großen Wert wählen, wird auch der Sinus Hyperbolicus davon (betragsmäßig) möglichst groß.

30.12.2012, 22:18

DerMartin

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Ich bin immernoch etwas verwirrt und weiß immernoch nicht was genau du mir sagen willst... unglücklich

unglücklich

Ich versuch es mal Schritt für Schritt nachzuvollziehen:

Zitat:

Die Formel stimmt

ok verstanden smile

smile

Zitat:

c ist der Wert an dem die Ableitung am größten ist

das hab ich glaub ich auch verstanden. Wobei c allerdings die Eigenschaft hat, weil wir genau diese fordern, oder?

Zitat:

man kann $\begin{eqnarray*} \lvert f'''(c)\rvert \end{eqnarray*}$ durch den größtmöglichen Funktionswert zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abschätzen/ersetzen.

Warum jetzt genau? Bzw den Funktionswert welcher Funktion jetzt? Von der Ursprünglichen oder der dritten Ableitung der Ursprünglichen?

Zitat:

In diesem Fall haben wir $\begin{eqnarray*} \sinh'''=\sinh \end{eqnarray*}$ , unser Restglied kann also nach oben durch

Ist die Dritte Ableitung des sinh nicht der cosh?

Abgesehen davon... muss ich für den Ausdruck $\begin{eqnarray*} |f^{(n+1)}(c)| \end{eqnarray*}$ nicht die dritte Ableitung von $\begin{eqnarray*} y = a *cosh(x/a) \quad mit \quad a >0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} y''' = sinh(x/a) \cdot \frac {1}{a^2} \end{eqnarray*}$ einsetzen?

Zitat:

Wenn wir aus diesen Intervallen einen (betragsmäßig) möglichst großen Wert wählen, wird auch der Sinus Hyperbolicus davon (betragsmäßig) möglichst groß.

Der Betragsmäßig größte Wert aus dem Intervall muss doch aber gerade a sein, oder?

mfg

30.12.2012, 22:23

Che Netzer

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Zitat:

Original von DerMartin
das hab ich glaub ich auch verstanden. Wobei c allerdings die Eigenschaft hat, weil wir genau diese fordern, oder?

Genau.

Zitat:

Bzw den Funktionswert welcher Funktion jetzt? Von der Ursprünglichen oder der dritten Ableitung der Ursprünglichen?

Den von der dritten Ableitung

Zitat:

Ist die Dritte Ableitung des sinh nicht der cosh?

Stimmt, tut mir leid smile

smile

Ändert aber nicht viel, immerhin betrachten wir ja den Cosinus Hyperbolicus – gemeint war $\begin{eqnarray*} \cosh'''=\sinh \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Abgesehen davon... muss ich für den Ausdruck $\begin{eqnarray*} |f^{(n+1)}(c)| \end{eqnarray*}$ nicht die dritte Ableitung von $\begin{eqnarray*} y = a *cosh(x/a) \quad mit \quad a >0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} y''' = sinh(x/a) \cdot \frac {1}{a^2} \end{eqnarray*}$ einsetzen?

Klar, aber das ändert nichts an der Monotonie.

Zitat:

Der Betragsmäßig größte Wert aus dem Intervall muss doch aber gerade a sein, oder?

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ muss überhaupt nicht in $\begin{eqnarray*} [0,x] \end{eqnarray*}$ liegen.

30.12.2012, 22:36

DerMartin

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ muss überhaupt nicht in $\begin{eqnarray*} [0,x] \end{eqnarray*}$ liegen.

Wieso das denn nicht? Laut Aufgabenstellung ist doch $\begin{eqnarray*} x \in [-a,a] \end{eqnarray*}$ .

Und wenn das nicht stimmt, dann versteh ich immernoch nicht ganz, wo der Weg hin führen soll.

Ich habe für das Restglied:

$\begin{eqnarray*} |R_2 (x,x_e)| \leq \frac {|f'''(c)|}{3!} \cdot |x-0|^3 \\ \leq \frac {sinh(c/a) \cdot \frac {1}{a^2}}{6} \cdot x^3 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich aus $\begin{eqnarray*} [0,x] \end{eqnarray*}$ einen möglichst großen Wert wählen.... ja aber welcher soll das sein? Der größte ist doch bestimmt x selber. Aber was habe ich mit der Aussage denn gekonnt?

mfg

30.12.2012, 22:45

Che Netzer

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$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist genau dann in $\begin{eqnarray*} [0,x] \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ (im allgemeinen, wenn $\begin{eqnarray*} x\geq a \end{eqnarray*}$ ).
In deiner Ungleichung ist die zweite Ungleichung eine Gleichheit, wenn du die Beträge noch ergänzt. Und ja, bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ ) wird der Wert maximal.

30.12.2012, 23:01

DerMartin

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Zitat:

In deiner Ungleichung ist die zweite Ungleichung eine Gleichheit, wenn du die Beträge noch ergänzt.

Meinst du so?
$\begin{eqnarray*} |R_2 (x,x_e)| = \frac {|sinh(x/a)|} {6a^2} \cdot x^3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und ja, bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ ) wird der Wert maximal.

Heißt dass nun, dass ich in einer Klausur die oben stehende Formel aufschreiben muss und dann anhand von Monotonie gebründen muss, dass der Fehler Maximal an der Stelle c=x ist?

Die Aussage erscheint mir irgendwie zu trivial, als dass ich volle Punktzahl dafür bekommen könnte. verwirrt

verwirrt

mfg

30.12.2012, 23:25

Che Netzer

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Da gilt eher $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ .
Und die Mononotie gilt zumindest auf den Intervallen $\begin{eqnarray*} [0,x] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} [x,0] \end{eqnarray*}$ ; ausformulieren kann da auch nicht schaden.

30.12.2012, 23:39

DerMartin

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Zitat:

Da gilt eher $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ .

Warum?

Zitat:

Und die Mononotie gilt zumindest auf den Intervallen $\begin{eqnarray*} [0,x] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} [x,0] \end{eqnarray*}$ ; ausformulieren kann da auch nicht schaden.

Ich bin immernoch ratlos. Ist die Lösung denn nun richtig oder falsch? Was soll ich ausformulieren und was hat das alles mit Monotonie zu tun?
Kannst du es mir bitte nochmal für ganz blöde erklären?

Oder kannst du mir diese Frage:

Zitat:

Heißt dass nun, dass ich in einer Klausur die oben stehende Formel aufschreiben muss und dann anhand von Monotonie gebründen muss, dass der Fehler Maximal an der Stelle c=x ist?

mit einem schlichten ja oder nein beantworten?

mfg

30.12.2012, 23:43

Che Netzer

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Zitat:

Original von DerMartin

Zitat:

Da gilt eher $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ .

Warum?

Es heißt ja Restgliedabschätzung.

Zitat:

Heißt dass nun, dass ich in einer Klausur die oben stehende Formel aufschreiben muss und dann anhand von Monotonie gebründen muss, dass der Fehler Maximal an der Stelle c=x ist?

Ja.
Zumindest, wenn $\begin{eqnarray*} x\geq0 \end{eqnarray*}$ , spielt mit dem Betrag aber auch keine Rolle.

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