Integral - Fläche zwischen Kurven 2

30.12.2012, 04:09

Tipso

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Integral - Fläche zwischen Kurven 2

Hallo,

Aufgabenstellung:
Aufgabenstellung:
Berechne den Flächeninhalt des Flächenstücks, das von den Kurven k_1 und k_2 begrenzt wird!

Zitat:

k_1 = y^2 = 4x

k_2 = 2x - y = 4

2.

Zitat:

Differenzfunktion bilden.

Gibt es dazu vielleicht einen guten Link?
Ich habe im Internet sehr wenig darüber gefunden.

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Wie gehe ich vor?

Zitat:

Ich setze beide Funktionen gleich und erhalte dadurch meine untere und obere Grenze.
Bilde dann von beiden Funktionen Integrale vom unteren bis oberen Intervall.
Ziehe danach die Untere Fläche von der Oberen ab.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Wo ich schon scheitere ist am Gleichsetzen um meine Schnittpunkte zu berechnen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x} = 2x + 4 | -2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x} - 2x = 4 | - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x} - 2x - 4 = 0 \end{eqnarray*}$

Wie geht es weiter?
Wo sind meine Fehler?

lg

30.12.2012, 04:23

Dopap

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es ist schon optimal, wenn eine Seite Wurzelform hat.

Jetzt gleich quadrieren. Und die notwendigen Proben durchführen.

30.12.2012, 04:30

Gast11022013

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Hat die Funktion k_1 weitere Einschränkungen? Vielleicht, dass sie größer 0 sein muss, oder ähnliches.

Den wenn wir die Wurzel ziehen, dann erhalten wir zwei potentielle Funktionen:

$\begin{eqnarray*} y^2=4x<br /> <br /> y_1=\sqrt{4x}<br /> <br /> y_2=-\sqrt{4x} \end{eqnarray*}$

smile

smile

In deiner unten aufgestellten Gleichung bringt dich quadrieren weiter, auch wenn es vielleicht ratsam wäre, diesen Schritt "vorzulagern". Sprich wir quadrieren an anderer Stelle um uns arbeit zu sparen.

Und zwar haben wir ja Folgende Gleichungen:

I. y^2=4x

II. y=2x-4

Wir quadrieren Gleichung II und erhalten y^2=(2x-4)^2

Dies können wir wunderbar in Gleichung I einsetzen:

(2x-4)^2=4x

Dabei ist zu beachten, dass quadrieren keine äquivalente Umformung ist.
Die späteren Ergebnisse sind also noch zu überprüfen!

Bezüglich der Differenzfunktion, läuft dies so ab, dass wir zwei Funktionen haben

Bsp:

f(x)=x^2

g(x)=x

Die Differenzfunktion bilden wir, indem wir beide Funktionen subtrahieren:

f(x)-g(x)=h(x)

h(x) ist unsere Differenzfunktion.

h(x)=x^2-x

Setzen wir die Differenzfunktion gleich Null, dann erhalten wir die Schnittpunkte dieser Funktion mit der x-Achse und des Weiteren auch die Schnittpunkte von f(x) mit g(x), da diese beide Funktionen an diesen Stellen gleich sind und somit ihre Differenz Null.

Also

$\begin{eqnarray*} h(x)=0<br /> <br /> x^2-x=0<br /> <br /> x(x-1)=0 \end{eqnarray*}$

Satz vom Nullprodukt ergibt:

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \vee x-1=0 \Rightarrow x_2=1 \end{eqnarray*}$

Das heißt wir müssen nun unsere Funktion h(x) in dem Intervall von 0 bis 1 integrieren um die Fläche zu erhalten, die f(x) und g(x) miteinander einschließen.

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\, x^2-x \, dx \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis wäre:

$\begin{eqnarray*} \frac16 \end{eqnarray*}$

Das wäre der Schnelldurchlauf.
smile

smile

Eigentlich nicht schwer, aber das ist hinterher was das integrieren angeht angenehmer, weil man nicht so viele Teilintegrale hat.

Edit: Konkurrenz um die Uhrzeit? Big Laugh

Big Laugh

Bin weg.

Wink

30.12.2012, 05:01

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

@gmasterflash:

es gibt hier am board keine Konkurrenz ! Ich habe mich auch nur ansatzweise ausgedrückt Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.12.2012, 05:18

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
@gmasterflash:

es gibt hier am board keine Konkurrenz ! Ich habe mich auch nur ansatzweise ausgedrückt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du weißt das es keine Realität gibt und deine Subjektive Realität mit der Realität an sich nichts zu tun hat.

Du kannst dich höchtens in Gmasterflash hineinversetzen.

Dein Motiv ist dabei nicht gerade gutmütig. Freude

Freude

@Gmasterflash

Zitat:

Hat die Funktion k_1 weitere Einschränkungen?

Hi,

Hat es leider nicht.

lg

30.12.2012, 05:23

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Konkurrenz war ja auch nur ironisch gemeint, weil ich es kurios fand, dass es, außer mir, noch weitere Personen gibt, die um halb 5 Uhr morgens im Matheboard sind. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn es für k_1 keine weiteren Einschränkungen gibt, dann wird wohl der positive "Ast" gemeint sein.

Kommst du den mit meinem bzw. Dopaps Tipp zurecht?
smile

smile

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30.12.2012, 06:12

Tipso

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Hi,

Es wäre echt gut wenn mir einen guten Link mit Video zu Differenzfunktionen posten könntest.

Man findet leider fast nichts im Net darüber. Zumindest ich nicht.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mein erneuter Versuch, meine Schnittpunkte zu berechnen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x} = 2x + 4 | -2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x} - 2x = 4 | - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x} - 2x - 4 = 0 |^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x - 4x^2 - 16 = 0 \end{eqnarray*}$

Wie mache ich nun meine Pause?
Wie erhalte ich meine Schnittpunkte?

Durch den Teiler von 16?
Durch ausprobieren?

Ps.
Ich werde es fertigstellen sobald ich geschlafen habe. Da ich merke, dass meine konzentration nachlässt.

30.12.2012, 06:16

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Du multiplizierst hier falsch aus. Bedenke, dass da steht

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{4x}-2x-4)(\sqrt{4x}-2x-4)=0 \end{eqnarray*}$

Wenn du das ausmultiplizierst, dann erhältst du einen Ausdruck, der wieder ein $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ enthält, wodurch du dich im Kreis drehst.

Du musst direkt als ersten Schritt quadrieren:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x}=2x+4 \end{eqnarray*}$

Nun quadrieren:

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{4x}\right)^2=(2x+4)^2 \end{eqnarray*}$

Was meinst du mit Pause?

Die Schnittpunkte berechnest du gerade. Löse weiter auf. Dies führt dich zu einer pq-Formel. Die Lösungen die diese bringt, musst du überprüfen indem du sie in die Ausgangsgleichung einsetzt und eine "wahre Aussage" generierst.

Edit: Hier ein relativ anschauliches Video, was nochmal beide Rechenwege anspricht.

http://www.youtube.com/watch?v=-6vRkqsQvM4

Leider ein kleiner Fehler drin, der aber ausgebessert ist.
smile

smile

30.12.2012, 07:10

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gmasterflash
Du multiplizierst hier falsch aus. Bedenke, dass da steht

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{4x}-2x-4)(\sqrt{4x}-2x-4)=0 \end{eqnarray*}$

Das ist mir leider überhaupt nicht klar.
Ich habe doch:

Edit:
Du meinst, dieser Schritt bedeutet dies:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x} - 2x - 4 = 0 |^2 \end{eqnarray*}$ Freude

Freude

Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x}=2x+4 \end{eqnarray*}$

Nun quadrieren:

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{4x}\right)^2=(2x+4)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x= (2x)^2 + 16x + 16 |-4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 4x^2 + 12x + 16 |:4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2 + 12x + 16 \end{eqnarray*}$

Pq-Formel

S_1 = -1,5278

S_2 = -10,47

Zitat:

Mein Ziel ist es aber schon das auf eine Seite zu schaffen und dann auszurechnen.

Zitat:

Was meinst du mit Pause?

Sollte Pq-Formel heißen. Gott

Gott

Zitat:

Die Schnittpunkte berechnest du gerade. Löse weiter auf. Dies führt dich zu einer pq-Formel. Die Lösungen die diese bringt, musst du überprüfen indem du sie in die Ausgangsgleichung einsetzt und eine "wahre Aussage" generierst.

Letzte Frage dazu, wann ist es eine wahre Aussage?
Wann ist es keine? Warum?

Zitat:

Edit: Hier ein relativ anschauliches Video, was nochmal beide Rechenwege anspricht.

http://www.youtube.com/watch?v=-6vRkqsQvM4

Top.
Danke. Freude

Freude

Freude

30.12.2012, 07:20

Gast11022013

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Wie hast du es den geschafft aus pq-Formal "Pause" zu machen? Big Laugh

Big Laugh

Wenn du durch 4 dividierst, dann musst du dies auch überall tuen, da es eine äquivalente Umformung ist. Es gilt für alle Teile der Gleichung.

An dieser Stelle fällt mir auf, dass du dich oben vertippt hast und diesen Tippfehler im weiteren übernimmst.

Wir setzen die Funktionen

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{4x} \end{eqnarray*}$

und

y=2x-4

gleich.
Beachte das Minus 4.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x}=2x-4 \end{eqnarray*}$

Dies führt zu:

4x^2-20x+16=0

An dieser Stelle mit 4 dividieren. Als du dies oben getan hast, hast du nur die 4 vor dem x² dividiert. Das ist falsch. Dividieren ist eine äquivalente Umformung und gilt für alle Teile der Gleichung.
smile

smile

$\begin{eqnarray*} x^2-5x+4=0 \end{eqnarray*}$

Und nun die pq-Formel anwenden.

Um deine Frage bezüglich der "wahren Aussage" schlüssig beantworten zu können, musst du mir erstmal die Lösungen der pq-Formel präsentieren.
smile

smile

"Mein Ziel ist es aber schon das auf eine Seite zu schaffen und dann auszurechnen."

Das funktioniert nicht, weil du so immer ein $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ weiterhin in der Gleichung hast. Da drehst du dich im Kreis, oder verstehe ich deine Frage falsch?

30.12.2012, 07:58

Tipso

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$\begin{eqnarray*} x^2-5x+4=0 \end{eqnarray*}$

Pq:

S_1 = -1

S_2 = -4

Sind die Grenzen meines Integrals.

Zitat:

Das funktioniert nicht, weil du so immer ein $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ weiterhin in der Gleichung hast. Da drehst du dich im Kreis, oder verstehe ich deine Frage falsch?

Jetzt habe ich dich verstanden. Freude

Freude

kann es mir endlich vorstellen. smile

smile

Bin schlafen und werde mich heute am Abend fertigstellen.

Danke. Freude

Freude

30.12.2012, 08:01

Gast11022013

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Da ist dir ein Vorzeichenfehler beim berechnen der Nullstellen passiert.
Wahrscheinlich hast du

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-2.5\pm\sqrt{2.25} \end{eqnarray*}$

berechnet.

Dies ist falsch. Unser p ist -5 und in der pq-Formel heißt es -p/2
Im Endeffekt also 2.5

Damit erhältst du die Ergebnisse

$\begin{eqnarray*} x_1=1<br /> <br /> x_2=4 \end{eqnarray*}$

Dann schlafe dich mal gut aus.
Wink

Wink

30.12.2012, 16:24

Tipso

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Hi,

Dann werde ich meine Integrale aufstellen. Um die gesuchte Fläche zu berechnen.

Zitat:

k_1 = y^2 = 4x

k_1 = y =\sqrt{ 4x}

k_2 = 2x - y = 4

Zitat:

Woher weiß ich nun von welcher Fläche ich welche Fläche abziehen muss, wenn ich keinen Graphen zur Verfügung habe?

$\begin{eqnarray*} \int_1^4 \! \sqrt{4x} \, dx - \int_1^4 \! 2x+4 \, dx \end{eqnarray*}$

Eine dumme Frage:

Ich verstehe diese Umformung nicht:
k_2 = 2x - y = 4
$\begin{eqnarray*} k_2 =y = 2x + 4 \end{eqnarray*}$
Ich dachte eher:

$\begin{eqnarray*} k_2 =y = 2x - 4 \end{eqnarray*}$
Graphik unten eingefügt.
Schaut nicht so gut aus..

lg

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Edit:
Du hast mich weiter vorne darauf schon Aufmerksam gemacht.

-4.

Neuer Graph.

30.12.2012, 23:39

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja da lag oben ein Tippfehler bei dir vor.

y=2x-4

lautet die Gleichung der Geraden.

Doch bevor wir daran denken die Fläche, die von dem Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird zu berechnen, müssen wir erstmal die Probe machen, welche Nullstelle der Funktion für uns überhaupt relevant ist.

Wir haben die Lösungen

$\begin{eqnarray*} x_1=1<br /> <br /> x_2=4 \end{eqnarray*}$

Davon ist nur eine Lösungen auch tatsächlich Lösung der Gleichung.

Was nun zu tuen ist, ist den Punkt in die Ausgangsgleichung einzusetzen und zu gucken, ob eine "wahre Aussage" entsteht, also die Gleichung wirklich gleich ist.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x}=2x-4 \end{eqnarray*}$

Einmal beide Zahlenwerte für x einsetzen und ausrechnen. Dann kannst du eine Aussage darüber treffen, welcher Schnittpunkt wirklich auch ein Schnittpunkt ist. (mehr oder weniger kannst du es auch schon an deinem Funktionsplot erkennen, aber eine Rechnung muss dennoch her.)

smile

smile

31.12.2012, 00:23

Tipso

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Alles klar.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4*4}=2*x-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4=4 \end{eqnarray*}$

Damit ist es die wahre Aussage.

Woher weiß ich nun wo ich anfangen muss.
Die Schnittpunkte sagen mir wo ich anfangen muss und wo es endet.
Nun habe ich nur einen Schnittpunkt.

Wenn ich den Graph ansehe, weiß ich natürlich das dieser bei 0 anfängt.
Aber woher wüsste ich es ohne den Graphen.

lg

31.12.2012, 00:32

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Und natürlich nicht vergessen, dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4\cdot 1}=2\cdot 1-4<br /> <br /> 2=-2 \end{eqnarray*}$

ist und dies definitiv nicht wahr ist.
smile

smile

Da das quadrieren, wie schon öfters erwähnt, keine Äquivalenzumformung ist und Lösungen erzeugt die gar keine sind, ist jedesmal, wenn du eine Gleichung quadrierst eine Probe durchzuführen um die "falschen" Lösungen wieder auszusortieren.

Zu dem Problem der unteren Grenze:

Hier könntest du einfach die beiden Graphen seperat gleich Null setzen und so deine untere Grenze erhalten.
Oder du nutzt ein wenig Verständnis von der Wurzelfunktion und weißt es einfach. Auch wenn eine Rechnung natürlich besser ist.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x}=0<br /> <br /> x=0<br /> <br /> 2x-4=0<br /> <br /> x=2 \end{eqnarray*}$

Daher bildet x=0 unsere untere Grenze.

31.12.2012, 01:27

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Zu dem Problem der unteren Grenze:

Hier könntest du einfach die beiden Graphen seperat gleich Null setzen und so deine untere Grenze erhalten.
Oder du nutzt ein wenig Verständnis von der Wurzelfunktion und weißt es einfach. Auch wenn eine Rechnung natürlich besser ist.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x}=0<br /> <br /> x=0<br /> <br /> 2x-4=0<br /> <br /> x=2 \end{eqnarray*}$

Daher bildet x=0 unsere untere Grenze.

Verstehe nicht warum dies so gemacht wird.

Berechnung der Nullstellen.

Ich habe nun eine Nullstelle, muss aber zwei haben, da sich in meiner Gleichung eine Wurzel befindet.
Eine stellt sich als eine Nullstelle heraus.

Diese setze ich dann als x-Wert ein..
Vielleicht einen guten Link oder graphische Erklärung?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Fortführung bzw. Beenden der Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int_0^4 \! \sqrt{4x} \, dx - \int_0^4 \! 2x+4 \, dx \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \left[\frac{8x^\frac{3}{2} }{3} \right]_{0}^{4} - \left[x^2 + 4x\right]_{0}^{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 21,333 - 32 = - 10,67 \end{eqnarray*}$

lg

31.12.2012, 01:34

Gast11022013

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Können Flächen einen negativen Wert haben? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da müssen Betragsstriche hin, weshalb im Endeffekt die Fläche positiv ist.

10,67 ist die korrekte Antwort.
smile

smile

Freude

Die oben zitierte Rechnung hat mit der Schnittpunktbestimmung und Probe der potentiellen Schnittpunkte nichts mehr zu tuen, sondern ist eine Reaktion auf die Frage woher man weiß, dass von 0 bis 4 zu integrieren ist.

Man sucht die Nullstellen der Funktionen und erhält so seine Grenzen.

Bzw. nutzt man sein wissen, dass eine Wurzelfunktion (oder quadrat Wurzelfunktion) nur für den positiven Bereich definiert ist und man mehr oder weniger keine andere Wahl hat.

31.12.2012, 01:34

opi

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Eine Zwischenbemerkung:

Zitat:

Original von Gmasterflash
Wenn es für k_1 keine weiteren Einschränkungen gibt, dann wird wohl der positive "Ast" gemeint sein.

Wenn es keine Einschränkungen gibt, dürften beide Äste gemeint sein:

[attach]27545[/attach]

Die gesamte bunte Fläche wird von $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ begrenzt.
Die Berechnung der Fläche ist etwas umständlich, je nach Kenntnisstand bietet sich die Bildung von Umkehrfunktionen an:

[attach]27547[/attach]

@Tipso: Ich empfehle dringend, diese Aufgabe erst zu lösen, wenn Du mit den Standardflächenberechnungen gut klarkommst. smile

smile

31.12.2012, 01:39

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du eingegeben, damit auch der negative Graph auf Geo erscheint. verwirrt

verwirrt

Danke für die Hilfe. Freude

Freude

31.12.2012, 01:45

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben ja oben die zwei Funktionen berechnet.

Einmal

$\begin{eqnarray*} y_1=\sqrt{4x} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y_2=-\sqrt{4x} \end{eqnarray*}$

wovon wir im Folgenden nur noch den positiven betrachtet hatten.

31.12.2012, 01:49

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gmasterflash
Wir haben ja oben die zwei Funktionen berechnet.

Einmal

$\begin{eqnarray*} y_1=\sqrt{4x} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y_2=-\sqrt{4x} \end{eqnarray*}$

wovon wir im Folgenden nur noch den positiven betrachtet hatten.

Achso, Es handelt sich als um zwei Parabeln und eine Gerade. X )

31.12.2012, 01:55

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

@Tipso:
Es gibt keinen negativen Graphen, sondern nur eine Kurve, die auch unterhalb der x-Achse verläuft. (Und kein Funktionsgraph ist!)
[attach]27550[/attach]
Die Eingabe bei GeoGebra ist aber nicht Dein Hauptproblem, beachte bitte meine Empfehlung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Gmasterflash: Und eben diese ausschließliche "positive Betrachtung" halte ich für falsch.

Und während ich hier schreibe und auf die Vorschau klicke, lese ich plötzlich von zwei Parabeln. Ich sende meinen Beitrag ab und ziehe mich wieder zurück.

31.12.2012, 01:57

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Parabeln sind das ja nicht wirklich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.12.2012, 02:16

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde die Aufgabe trotz Schweregrad gerne beenden.

Also, besteht die Möglichkeit es durch Umkehraufgaben zu lösen. Da ich dann bessere Intervalle erhalte.

Alternative:

Fällt mir keine ein.

Zitat:

Mit der obigen Berechnung haben wir nur den im positiven Bereich liegende, gesuchte Fläche ausgerechnet.

lg

31.12.2012, 02:24

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von opi

@Tipso:
Es gibt keinen negativen Graphen, sondern nur eine Kurve, die auch unterhalb der x-Achse verläuft. (Und kein Funktionsgraph ist!)
[attach]27550[/attach]

Wird als kegelschnitt angegeben, man kann es aber auch als Funktion eingeben. Freude

Freude

lg

Edit opi: Zitatverschachtelung entfernt.
Nebenbei: Eine "Nicht-Funktion" kann man nicht als Funktion eingeben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.12.2012, 02:31

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Umkehrfunktion sprengt höchstwahrscheinlich den Rahmen des dir möglichen, wie opi ja auch schon angedeutet hat. Du solltest dich viellieber darauf konzentrieren, dass du mit den dir bekannten Mitteln Aufgaben löst, da dies dir ja doch noch Probleme bereitet und es deshalb keinen Sinn macht mit etwas anderem zu beginnen.
smile

smile

Aus diesem Grund müssen wir hier wieder Teilintegrale bilden.

Insgesamt sind es 4 Stück, wie du in dem von opi angehängtem Bild erkennen kannst.

31.12.2012, 02:46

Tipso

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Hi,

1. Integral

Gelbe Fläche

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! \sqrt{4x} \, dx \end{eqnarray*}$

2. Integral

Blaue Fläche

$\begin{eqnarray*} \int_2^4 \! \sqrt{4x} \, dx - \int_2^4 \! 2x + 4 \, dx \end{eqnarray*}$

3. Integral

Jetzt bin ich mir unsicher:

Grüne Fläche

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! -\sqrt{4x} \, dx \end{eqnarray*}$

4. Integral

Rote Fläche

$\begin{eqnarray*} \int_1^2 \! -\sqrt{4x} \, dx - \int_1^2 \! 2x + 4 \, dx \end{eqnarray*}$

Danach zähle ich alle Flächen zusammen.

lg

Ps.
Wie das mit den Umkehraufgaben funktioniert wäre auf jeden Fall sehr interessant.

Edit opi: Latex korrigiert.

31.12.2012, 02:52

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den Umkehrfunktionen ist im Prinzip eigentlich gar nicht schwer.
Hier ist mal ein Video:

http://www.youtube.com/watch?v=npn0d5GCrYg

Wir können das auch gerne noch mit der Umkehrfunktion machen wenn du möchtest, aber zu erst würde ich sagen, dass wir es so zu ende machen, da es auf jeden Fall eine gute Übung ist.

1. Integral Freude

Freude

2. Integral hier hast du wieder + anstatt -4 geschrieben. Ansonsten korrekt. Freude

Freude

3. Integral

auch das stimmt. Den Schnittpunkt von der Funktion $\begin{eqnarray*} y=-\sqrt{4x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=2x-4 \end{eqnarray*}$ ist natürlich zu berechnen. Ich hoffe das ist auch geschehen.

4. Integral

Hier machst du es dir schwerer als es ist. Dieses Teilintegral ist lediglich die Fläche unterhalb der Geraden in dem Intervall von 1 bis 2

$\begin{eqnarray*} \int_1^2 2x-4\, dx \end{eqnarray*}$

Auch hier ist wieder der Fehler mit dem + anstatt -4

Edit:

Alternativ hättest du auch das Flächenstück, was die Funktion

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{4x} \end{eqnarray*}$ und die Gerade $\begin{eqnarray*} 2x-4 \end{eqnarray*}$ im Intervall von 0 bis 1 einschließt berechnen können und von der Fläche, die wir oben berechnet haben subtrahieren. Das würde auch gehen.

31.12.2012, 03:25

Tipso

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Alles klar.

Umkehraufgabe, werde ich Morgen machen. Nachdem ich mich nochmals darin eingelesen habe.

Ich weiß schon wie man Bedingungen etc. aufstellt, jedoch fällt es mir schwer mir diese Graphen die daraus entstehen vorzustellen, was ich hier brauchen werde.

Meine Integrale nochmals verbessert:

1. Integral

Gelbe Fläche

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! \sqrt{4x} \, dx \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{8x^{\frac{3}{2} }}{3} \right]_{0}^{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 7,542472333 \end{eqnarray*}$

2. Integral

Blaue Fläche

$\begin{eqnarray*} \int_2^4 \! \sqrt{4x} \, dx - \int_2^4 \! 2x - 4 \, dx \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{8x^{\frac{3}{2} }}{3} \right]_{2}^{4} - \left[x^2 - 4x\right]_{2}^{4} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 13,79 - 12 = 1,79 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Dieses Ergebnis scheint mir falsch, trotz wiederholtem nachrechnen.

3. Integral

Jetzt bin ich mir unsicher:

Grüne Fläche

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! -\sqrt{4x} \, dx \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{-8x^{\frac{3}{2} }}{3} \right]_{0}^{2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} - 7,542472333 \end{eqnarray*}$

4. Integral

Rote Fläche

$\begin{eqnarray*} \int_1^2 \! 2x - 4 \, dx \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \left[x^2 - 4x\right]_{1}^{2} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} - 4 - 3 = - 7 \end{eqnarray*}$

Laut Lösungsbuch ist das Ergebnis: 9 Fe.

Für Fläche 3. Schnittpunkt Berechnung:

$\begin{eqnarray*} y=-\sqrt{4x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=2x-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{4x} = 2x-4 | ^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4x = 4x^2 - 16 | + 16 | -4x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4x^2-4x+16 = 0 | *(-1)| :4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 + x - 4 = 0 \end{eqnarray*}$

"Fail"

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x}=2x-4 \end{eqnarray*}$

Dies führt zu:

4x^2-20x+16=0

Diese Umformung verstehe ich nicht von dir.

31.12.2012, 03:41

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind keine Umkehraufgaben sondern Umkehrfunktionen, dass sind zwei paar Schuhe. Das hat mit diesen Rekonstruktionsaufgaben aus Bedingungen erstmal nichts am Hut.
smile

smile

Deine Stammfunktion von

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x} \end{eqnarray*}$

ist falsch.

Ich würde empfehlen, dass wir das erstmal ein wenig auflösen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x}=2\sqrt{x}=2\cdot(x)^{\frac12} \end{eqnarray*}$

jetzt von $\begin{eqnarray*} (x)^{\frac12} \end{eqnarray*}$

die Stammfunktion bilden. Also den Exponenten um eins erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen. Danach noch die 2 multiplizieren.

Da Integral 1-3 auf dieser falschen Stammfunktion aufbauen, habe ich die erstmal nicht korrigiert, was die Berechnung angeht.

Die Stammfunktion von der Geraden ist korrekt.

$\begin{eqnarray*} x^2-4x \end{eqnarray*}$

Freude

Freude

Die Fläche von Integral 4 ist falsch berechnet. Ein Integral berechnet man ja indem man Obergrenze Minus Untergrenze rechnet.

Dementsprechend ist:

$\begin{eqnarray*} \left[x^2-4x\right]_{1}^{2}<br /> <br /> =(2^2-4\cdot 2)-(1^2-4\cdot 1)<br /> <br /> =-4-(-3)<br /> <br /> =-4+3<br /> <br /> =-1 \end{eqnarray*}$

Also eine Flächeneinheit.

Die 9 Flächeneinheiten kann ich bestätigen.

Zu deiner Schnittpunkt berechnung:

Der erste Fehler entsteht beim quadrieren von $\begin{eqnarray*} (-\sqrt{4x})^2 \end{eqnarray*}$
Das Minuszeichen wird mit quadriert und somit wird dies positiv

4x

der zweite große Fehler entsteht beim quadrieren der rechten Seite. Dies ist eine binomische Formel. Es darf nicht nur "teilweise quadriert werden".

Was da steht ist:

$\begin{eqnarray*} (-\sqrt{4x})^2=(2x-4)^2 \end{eqnarray*}$

und ist auch dementsprechend zu behandeln.
smile

smile

Das ist das selbe wie die Umformung, die wir oben gemacht haben, und du nun nicht verstehst auf einmal. Bei Fragen bitte direkt fragen.
Auch dort wurde die binomische Formel angewandt.

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

Ist die Umformung immer noch unklar?

Jetzt also die Stammfunktion korrigieren und dann die Schnittpunkte neu berechnen. Vergiss die spätere Probe nicht.

31.12.2012, 04:18

Tipso

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Alles klar.

Zitat:

Es sind keine Umkehraufgaben sondern Umkehrfunktionen, dass sind zwei paar Schuhe. Das hat mit diesen Rekonstruktionsaufgaben aus Bedingungen erstmal nichts am Hut.

Darum kümmere ich mich Morgen. Freude

Freude

Verbesserung:

1. Integral 2

Gelbe Fläche

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! \sqrt{4x} \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! 2\cdot(x)^{\frac12} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{4x^{\frac{3}{2} }}{3} \right]_{0}^{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 5,656854 \end{eqnarray*}$

2. Integral

Blaue Fläche

$\begin{eqnarray*} \int_2^4 \! 2\cdot(x)^{\frac12} \, dx - \int_2^4 \! 2x - 4 \, dx \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{4x^{\frac{3}{2} }}{3} \right]_{2}^{4} - \left[x^2 - 4x\right]_{2}^{4} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 5,0098 - 4 = 1,0098 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Dieses Ergebnis scheint mir falsch, trotz wiederholtem nachrechnen.

3. Integral

Jetzt bin ich mir unsicher:

Grüne Fläche

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! -2\cdot(x)^{\frac12} \, dx \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{-4x^{\frac{3}{2} }}{3} \right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} - 4 \end{eqnarray*}$

4. Integral

Rote Fläche

$\begin{eqnarray*} \left[x^2-4x\right]_{1}^{2}<br /> <br /> =(2^2-4\cdot 2)-(1^2-4\cdot 1)<br /> <br /> =-4-(-3)<br /> <br /> =-4+3<br /> <br /> =-1 \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------------------------------------------------------

5,6 - 1,009 - 4 - 1 = Falsches Ergebnis.

Eine Offtopic Frage:

Du gibst: \cdot(x)^{\frac12} händisch ein. Also nicht durch den Formeleditor.

smile

smile

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Zitat:

Das ist das selbe wie die Umformung, die wir oben gemacht haben, und du nun nicht verstehst auf einmal. Bei Fragen bitte direkt fragen.
Auch dort wurde die binomische Formel angewandt.

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

Ist die Umformung immer noch unklar?

Passt Perfekt. smile

smile

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} (-\sqrt{4x})^2=(2x-4)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x = 4x^2 - 16x + 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 4x^2 - 20x + 16 |:4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2 - 5x + 4 \end{eqnarray*}$

Pq:
Die gleichen wie vorher:
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-2.5\pm\sqrt{2.25} \end{eqnarray*}$

4 und 1.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Werde es in aller Frische fortführen.
Danke für deine Hilfe. G8

31.12.2012, 04:52

Gast11022013

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Deine Stammfunktion stimmt jetzt. Freude

Freude

Die berechnete Fläche jedoch nicht. Ich weiß nicht wie du eingetippt hast. Jedenfalls ist die 2 für das x einzusetzen und nur dieser Teil wird hoch 3/2 genommen.

Das Ergebnis ist:

$\begin{eqnarray*} \frac43\cdot 2^{3/2}=3.77 \end{eqnarray*}$

Da die zweite Grenze Null ist, fällt dieser Teil aus der Berechnung raus.

Auch deine zweite Fläche ist falsch berechnet.

Die Teilergebnisse sollten:

10.67
3.77
4
0

lauten.

Daraus ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} (10.67-3.77)-(4-0)=2.9 \end{eqnarray*}$

Sind natürlich alles gerundete Werte.

Bitte nochmal nachrechnen. Du scheinst irgendwas falsch in den TR einzutippen.

Auch integral 3 ist falsch berechnet.
Wenn wir für x die 1 einsetzen, dann bleiben nur die

$\begin{eqnarray*} -\frac43 \end{eqnarray*}$

über. Also $\begin{eqnarray*} \frac43 \end{eqnarray*}$ FE

Integral 4 hast du richtig übernommen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hoffe der Rechenweg ist auch nachvollzogen.

Wir haben also die Flächeninhalte von

$\begin{eqnarray*} 3.77+2.9+\frac43+1=9,00\overline{3}\approx 9 \checkmark \end{eqnarray*}$

Bitte sämtliche Ergebnisse nochmal eintippen und nachvollziehen.

Ja ich Tippe meine Codes händisch ein. Geht halt schneller. Wenn man die Codes erstmal kennt ist das keine Kunst. Latex ist generell recht Intuitiv was die Codes angeht.

Zur Schnittpunktberechnung:

Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen.
Bedenke, dass die pq-Formel

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

lautet.

Unser p und q ist hier:

$\begin{eqnarray*} p=-2.5<br /> q=4 \end{eqnarray*}$

Daher muss in der pq-Formel

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{-5}2\pm\sqrt{\left(\frac{-5}2\right)^2-4} \end{eqnarray*}$

Woraus:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=2.5\pm\sqrt{2.25} \end{eqnarray*}$

und die Lösungen:

$\begin{eqnarray*} x_1=1<br /> <br /> x_2=4 \end{eqnarray*}$

folgen.

Bei deiner Berechnungsvorschrift sollten die Vorzeichen hier gedreht sein, was falsch ist.

Nun ist noch die Probe durchzuführen. Also wie vorhin beide Lösungen in die Ausgangsgleichung einsetzen.
smile

smile

Edit:

Zitat:

5,6 - 1,009 - 4 - 1 = Falsches Ergebnis.

Es ist darauf zu achten, dass wir hier in Flächeneinheiten rechnen. Diese können nicht negativ sein. Wie in meiner Berechnung sind negative Werte positiv zu machen. Eine negative Fläche macht ja auch irgendwie keinen Sinn. Dies erreicht man mit Betragsstrichen, die um negative Integrale zu setzen sind.

31.12.2012, 17:25

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Habe alles nachgerechnet und nachvollzogen.
Warum ich Gestern die falschen Integrale erhalten habe lag einerseits an der falschen Eingabe andererseits am falschen oberen Wert. (Integral 3 - 2 statt 1)
Freude

Freude

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Probe der Schnittpunkte:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{-5}2\pm\sqrt{\left(\frac{-5}2\right)^2-4} \end{eqnarray*}$

Woraus:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=2.5\pm\sqrt{2.25} \end{eqnarray*}$

und die Lösungen:

$\begin{eqnarray*} x_1=1<br /> <br /> x_2=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{4x}=2x-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{4}=2-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2=-2 \end{eqnarray*}$

Passt.

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{4x}=2x-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{4*4}=2*4-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4=4 \end{eqnarray*}$

passt nicht.
Aussage ist falsch. (nicht wahr).

lg
Frohes neues Jahr. Freude

Freude

01.01.2013, 00:23

Gast11022013

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Schön, dass es nun geklappt hat.

Frohes Neues.

Wink

Wink

01.01.2013, 02:26

Tipso

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Frohes neues. smile

smile

06.01.2013, 23:00

Tipso

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Hallo,

Abschließend vielleicht diese Frage, welche offen ist:

Zitat:

Bezüglich der Differenzfunktion, läuft dies so ab, dass wir zwei Funktionen haben

Bsp:

f(x)=x^2

g(x)=x

Die Differenzfunktion bilden wir, indem wir beide Funktionen subtrahieren:

f(x)-g(x)=h(x)

h(x) ist unsere Differenzfunktion.

h(x)=x^2-x

Setzen wir die Differenzfunktion gleich Null, dann erhalten wir die Schnittpunkte dieser Funktion mit der x-Achse und des Weiteren auch die Schnittpunkte von f(x) mit g(x), da diese beide Funktionen an diesen Stellen gleich sind und somit ihre Differenz Null.

Dies besagt das ich sowohl die Schnittpunkte mit der x-Achse als auch die Schnittpunkte von f(x) mit g(x) erhalte. Ich will aber in diesem Fall nur die Schnittpunkte von f(x) mit g(x) ..

Ich muss darauf achten was ich erhalte?
lg

06.01.2013, 23:20

mYthos

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Zitat:

Setzen wir die Differenzfunktion gleich Null, dann erhalten wir die Schnittpunkte dieser Funktion mit der x-Achse und des Weiteren auch die Schnittpunkte von f(x) mit g(x), da diese beide Funktionen an diesen Stellen gleich sind und somit ihre Differenz Null.

Die betreffende Aussage ist wohl richtig, aber etwas missverständlich. Beim Nullsetzen der Differenzfunktion f(x) - g(x) erhalten wir in erster Linie die Schnittpunkte der beiden Funktionen f(x) und g(x), NICHT aber deren Schnittpunkte mit der x-Achse. Du kannst also dahingehend beruhigt sein.

Die Differenzfunktion f(x) - g(x) ist ihrerseits wieder eine Funktion, z.B. h(x) und DEREN Schnittpunkte mit der x-Achse sind identisch mit den STELLEN auf der x-Achse (x-Werten) der o.g. Schnittpunkte.

mY+

06.01.2013, 23:32

Tipso

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Hi,

Danke.

So wie ich es verstanden habe, ist es hier sichtbar, in dem von @opi geposteten Graphen dazu.

http://www.matheboard.de/attachment.php?attachmentid=27547

lg

08.01.2013, 04:05

Tipso

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Hallo,

Wenn ich nun f(x) - g(x) für mein Beispiel berechne.
Was ist f(x) was ist g(x). Also immer die Funktion - der Geraden?
Was wenn ich zwei Funktionen habe?

4x^2 - 15x + 16 - 4x = 4x^2 - 11x + 16

Was mache ich nun damit?
Wie erhalte ich die gesuchte Fläche?
Womit schneiden um meine Schnittpunkte zu ermitteln?

Zitat:

Die Differenzfunktion f(x) - g(x) ist ihrerseits wieder eine Funktion, z.B. h(x) und DEREN Schnittpunkte mit der x-Achse sind identisch mit den STELLEN auf der x-Achse (x-Werten) der o.g. Schnittpunkte.

Hat bei mir keine Schnittpunkte mit der x-Achse.

lg

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