Integral mit substitution

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Ken23 Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mit substitution
Meine Frage:
Hallo ich habe Probleme bei einer Aufgabe:

Bestimmen sie das Integral mittels substitution.

Ich erkenn einfach nicht welche substitution ich nehmen soll.



Kann ich als substitution:

x = sinh nehmen?

Meine Ideen:
keine
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit substitution
Hi,

probier es doch mal mit das sollte klappen. smile
Ken23 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir erklären was ich machen kann , das ich besser sehe welche substitution ich benutzen muss?
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich dir doch bereits geschrieben. Du sollst substituieren. smile
Ken23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe es haben sich keine Fehler eingeschlichen , aber jetzt komme ich nicht mehr weiter:



Was kann ich jetzt machen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, es kommt darauf an, für welches Intervall die Stammfunktion zu bestimmen ist. Für kann man substituieren. Für ) allerdings würde diese Substitution nicht gehen (Wertebereich der Sinusfunktion). Da wäre das Äquivalent. Aber so oder so finde ich die Substitution nicht praktisch, da sie nicht auf wesentlich einfachere Integrale führt. Ich würde Partialbruchzerlegung empfehlen. Aber auch da ist Sorgfalt darauf zu legen, für welches Intervall die Stammfunktion bestimmt wird.
 
 
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe da noch eine kleine Frage: muss man die Grenzen a und b nicht mit substituieren?
Ken23 Auf diesen Beitrag antworten »

EIn Intervall ist für das Integral nicht gegeben leider .

In meinem Übungsblatt sehe ich grade steht als tipp das man den arctanh (x)

als substitution nehmen soll.

Vielleicht probiere ich es damit.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich ja. Aber ich vermute, daß die nur deshalb da stehen, weil sie beim Formeleditor als Vorlage dienen. Daß mit anderen Worten das unbestimmte Integral gesucht ist. Ist aber natürlich nur eine Vermutung ...
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold, ich habe es so verstanden das die Aufgabe mittels Substitution gelöst werden soll. verwirrt

Vorab sollte Leopolds einwand aber noch besprochen werden. Ist ein Intervall angegeben?



Ich denke nun geht es wohl am einfachsten mit einer weiteren Substitution weiter. Probier es mal mit der Generalsubstitution.

Wenn jemand noch einen anderen Einfall hat, immer her damit. smile
Ken23 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi leopold, ja ich soll auch das unbestimmte Integral bestimmen.

Nur so ne frage , vielleicht klingt diese frage blöd , aber was bedeutet das?
Das unbestimmte integral bestimmen.
Ken23 Auf diesen Beitrag antworten »

Vorab sollte Leopolds einwand aber noch besprochen werden. Ist ein Intervall angegeben?

Nein ist keins gegeben.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ja also entweder wählst du nun die Substitution die in der Aufgabe angegeben ist oder du machst jetzt mit der Generalsubstitution weiter.
Ken23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuchs mal mit dem tipp:
x = arctanh u


Aber die frage ist wie leite ich das ab?
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber die frage ist wie leite ich das ab?


Schau mal bei Wikipedia. Ich werde hier nicht alles vorbeten.
Ken23 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung ist doch:

1/ 1-x^2 oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ken23
Ist ein Intervall angegeben?

Nein ist keins gegeben.


Und genau aus diesem Grund kannst du nicht einfach drauf losrechnen. Du mußt vielmehr eine Fallunterscheidung durchführen.

1. Fall:
2. Fall:
3. Fall:

Die Substitutionen müssen immer so gewählt werden, daß bijektiv ist und auch im angegebenen Bereich -Werte liefert. Sonst sind alle deine Ergebnisse wertlos.

Auch die von dir vorgeschlagene Substitution (von mir verbessert, du selbst hattest vorgeschlagen) funktioniert nur im 1. Fall.
Ken23 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey leute in meiner musterlösung soll als ergebnis :

t+ C rauskommen.

Aber ich versteh nicht wie sie auf das ergebnis kommen.

In meiner musterlösung haben sie :


dt/dx = 1/ 1- x^2 gesetzt:

Ich hätte das so gemacht:

dx/dt = 1/ 1- x^2 gesetzt:

Warum ist das in der Musterlösung umgekehrt ?

Vielleicht kann mir das einer von euch erklären.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Substituion ist gewissermaßen ein Witz. Sie nimmt nämlich das Ergebnis vorweg. Letztlich wird nur die Umkehrfunktion des Ergebnisses substituiert. Ist nämlich eine Stammfunktion von und umkehrbar, so führt die Substitution



modulo einer additiven Konstanten auf

Ken23 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich versteh jetzt nicht genau wie ich das mit Zahlen macht.

Kannst du mir das erklären.

Ich glaube die Aufgaben ist einach schwer.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Im konkreten Fall ist und , also .

(Um es noch einmal klar auszudrücken: Der Witz besteht darin, daß man, wenn man das Ergebnis schon kennt, die Umkehrfunktion des Ergebnisses substituiert, um das Ergebnis zu erhalten. Ist doch lustig. Oder?)

Jetzt substituiere . Dafür gilt

Wohlgemerkt: Das Ganze funktioniert nur für . Darauf habe ich schon mehrmals hingewiesen. Das scheint aber von allen Beteiligten konsequent ignoriert zu werden. (Ist ja auch verstörend, dieser Hinweis. Weil er einen vom Rechnen abhält und zum Denken zwingt. Wer macht das schon gern!)

Übrigens: Halte dich an korrekte Schreibweisen. So bedeutet nämlich . Du willst aber haben. Wenn du schon die Bruchschreibweise scheust, dann mußt du zumindest schreiben.
Ken23 Auf diesen Beitrag antworten »

Nur eine sache musst du mir nochmal erklären ,weil es mir nicht klar ist.

Warum substituierst du auc´f einmal tanh ?

Ist nicht die substitution:

arctan h?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Weil das der Vorschlag war, den ich aus deinen verwirrenden Lösungshinweisen herausgearbeitet habe. Ich selber hätte es sowieso anders gemacht:

Zitat:
Aber so oder so finde ich die Substitution nicht praktisch, da sie nicht auf wesentlich einfachere Integrale führt. Ich würde Partialbruchzerlegung empfehlen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Substitution wird ja die Komik auf die Spitze getrieben. Natürlich gilt , also



Das ist so, als würde man bei mit der Substitution arbeiten. Für sie gilt: . Die Rechnung ergibt



Das ist doch hochgradig albern.

Doch langsam dämmert mir etwas anderes. Daß dir nämlich vielleicht gar nicht klar ist, was bedeutet. Darauf läßt mich deine merkwürdige Lücke bei "arctan h" schließen. Das muß arctanh heißen und ist die amerikanische Verballhornung des area tangens hyperbolicus, der korrekt artanh bezeichnet wird. h ist hier also keine Variable, sondern gehört zum Funktionsnamen dazu.
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