Integration durch Substitution 1

30.12.2012, 11:47

Monoid

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Integration durch Substitution 1

Hallo,

Ich habe folgendes Integral zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx \end{eqnarray*}$

Ich habe die Substitution $\begin{eqnarray*} x= \sin (u) \Rightarrow \frac{d x}{d u}=\cos(u) \Rightarrow d x = \cos(u) d u \end{eqnarray*}$ gewählt.
Also ist $\begin{eqnarray*} \int\! \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx =\int\!\sin(u)\,du=\cos(u) \end{eqnarray*}$ .

Aber jetzt muss ich ja wieder zurück substituieren. Aber wie geht das?

30.12.2012, 11:52

Cheftheoretiker

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RE: Integration durch Substitution 1
Hi,

Per Umkehrfunktion geht es wohl am einfachsten. $\begin{eqnarray*} x=sin(u) \end{eqnarray*}$ demnach ist $\begin{eqnarray*} u=arcsin(x) \end{eqnarray*}$

30.12.2012, 11:55

Monoid

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RE: Integration durch Substitution 1
Ich weiß nicht welche Definition des sinus du da meinst. Ich kenne nur die trigonometrische und die über die Taylorreihe.

30.12.2012, 11:56

Equester

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Ah, du hasts gesehen (wegeditiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Übrigens ein Alternativvorschlag: u=1-x² und die Sache ist ein Kinderspiel smile

smile

.

30.12.2012, 11:56

Che Netzer

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RE: Integration durch Substitution 1
Die Substitution $\begin{eqnarray*} x=\sin u \end{eqnarray*}$ würde ich sowieso nicht empfehlen, außerdem wurde anschließend falsch gekürzt (man beachte $\begin{eqnarray*} \sqrt{\cos^2u}=\lvert\cos u\rvert \end{eqnarray*}$ ).

30.12.2012, 11:56

Monoid

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RE: Integration durch Substitution 1
Also ist $\begin{eqnarray*} \arccos(x) \end{eqnarray*}$ das Ergebnis?

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30.12.2012, 12:05

Cheftheoretiker

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RE: Integration durch Substitution 1

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Ich weiß nicht welche Definition des sinus du da meinst. Ich kenne nur die trigonometrische und die über die Taylorreihe.

Ich meinte eigentlich: Du hast $\begin{eqnarray*} sinu=x \end{eqnarray*}$ substituert. Da der Sinus definiert ist als $\begin{eqnarray*} \frac{GK}{H} \end{eqnarray*}$ stellen wir die Beziehung auf.: $\begin{eqnarray*} AK^2+GK^2=H^2 \end{eqnarray*}$

Wir haben also $\begin{eqnarray*} GK^2=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H^2=1 \end{eqnarray*}$ setzen ein und lösen nach $\begin{eqnarray*} AK \end{eqnarray*}$ auf.

Wir erhalten $\begin{eqnarray*} AK=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Nun wenden wir uns deiner Lösung zu: $\begin{eqnarray*} cos(u) \end{eqnarray*}$ . Der Kosinus ist definiert $\begin{eqnarray*} cosu=\frac{AK}{H} \end{eqnarray*}$ .

Wir haben sowohl $\begin{eqnarray*} AK \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ und setzen ein.

$\begin{eqnarray*} cos(u)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1}=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Wenn du das nun differenzierst erhälst du $\begin{eqnarray*} -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$

Wie Che Netzer schon meinte, es muss sich wohl ein Vorzeichenfehler eingeschlichen haben. verwirrt

verwirrt

30.12.2012, 12:43

Che Netzer

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RE: Integration durch Substitution 1
Du nutzt also im Prinzip die Formel $\begin{eqnarray*} \sin^2x+\cos^2x=1 \end{eqnarray*}$ .
Die Definition von Sinus und Cosinus mit Katheten etc. finde ich etwas problematisch – wenn du den Sinus als $\begin{eqnarray*} \frac{GK}H \end{eqnarray*}$ definierst, was sind dann $\begin{eqnarray*} GK \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ?

Das Problem bei deiner Rechnung ist, dass die Seitenlängen bei dir immer positiv zu sein scheinen.

Ich würde jedenfalls entweder zu Equesters Substitution oder zu genauem Hinsehen raten.

30.12.2012, 12:46

Monoid

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Mit Equester's Vorschlag komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} u=1-x^{2} \Rightarrow x=\sqrt{1-u} \Rightarrow \frac{d x}{d u}= - \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1-u}} <br /> \Rightarrow dx=\frac{- d u}{2 \cdot \sqrt{1-u}} \Rightarrow \int\! \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx<br /> = - \int\!\frac{\sqrt{1-u}}{\sqrt{u}\sqrt{1-u} \cdot 2}\, du=-\frac{1}{2} \int\! \sqrt{u}\,du =- \frac{1}{2} \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}<br /> =- \frac{\sqrt{u^{3}}}{3}=\frac{\sqrt{(1-x^{2})^{3}}}{3} \end{eqnarray*}$

30.12.2012, 13:00

Che Netzer

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Zitat:

Original von Mathemathemathe
$\begin{eqnarray*} - \int\!\frac{\sqrt{1-u}}{\sqrt{u}\sqrt{1-u} \cdot 2}\, du=-\frac{1}{2} \int\! \sqrt{u}\,du \end{eqnarray*}$

Da liegt der Fehler.

30.12.2012, 13:04

Cheftheoretiker

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RE: Integration durch Substitution 1

Zitat:

Original von Che Netzer
Die Definition von Sinus und Cosinus mit Katheten etc. finde ich etwas problematisch – wenn du den Sinus als $\begin{eqnarray*} \frac{GK}H \end{eqnarray*}$ definierst, was sind dann $\begin{eqnarray*} GK \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ?

Wenn $\begin{eqnarray*} sin(u)=x \end{eqnarray*}$ lautet dann kann man es doch auch als $\begin{eqnarray*} sin(u)=\frac{x}{1} \end{eqnarray*}$ schreiben. Demnach ist $\begin{eqnarray*} GK=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H=1 \end{eqnarray*}$ oder was meinst du? verwirrt

verwirrt

30.12.2012, 13:12

Che Netzer

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RE: Integration durch Substitution 1
Ich meinte, wofür $\begin{eqnarray*} GK \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ in der Definition stehen sollen.
Wenn du die Sinusfunktion so definierst, benutzt du diese Ausdrücke ja, aber wie sind die definiert?

(Und wieso ist in diesem Fall nicht $\begin{eqnarray*} GK=-2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H=-2 \end{eqnarray*}$ ?)

30.12.2012, 13:13

Monoid

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Achso! Es muss $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \int\! \frac{1}{\sqrt{u}}\, du=... \end{eqnarray*}$ heißen.

Die Exponentenregel darf ich ja nicht anwenden. Aber wie löse ich das Integral dann?

30.12.2012, 13:17

Che Netzer

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Exponentenregel? Wenn du das meinst, was ich beim Ableiten als Potenzregel kenne, spräche nichts dagegen.

30.12.2012, 13:21

Monoid

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Ich meine damit die folgende Regel:

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb R \text{ohne -1} : \int\! x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \end{eqnarray*}$

30.12.2012, 13:26

Cheftheoretiker

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RE: Integration durch Substitution 1

Zitat:

Original von Che Netzer
Ich meinte, wofür $\begin{eqnarray*} GK \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ in der Definition stehen sollen.
Wenn du die Sinusfunktion so definierst, benutzt du diese Ausdrücke ja, aber wie sind die definiert?

(Und wieso ist in diesem Fall nicht $\begin{eqnarray*} GK=-2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H=-2 \end{eqnarray*}$ ?)

Ja eben die Dreiecksbeziehung. GK=Gegenkathete und H=Hypothenuse.

Wieso sollte ich für GK noch die $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ dazu dichten? verwirrt

verwirrt

30.12.2012, 13:34

Che Netzer

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@Mmm:
Genau die kannst du anwenden. Das "ohne"-Zeichen ist \setminus, also $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus\{-1\} \end{eqnarray*}$ .

@Cheftheoretiker:
Aber was ist die Gegenkathete?
Du kannst doch nicht zwei Strecken (geometrische Objekte) dividieren und eine Zahl erhalten.
Und vor allem: Die Gegenkathete wovon?

Die $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ war nur ein Beispiel dafür, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nicht durch $\begin{eqnarray*} \frac ab \end{eqnarray*}$ festgelegt sind.

30.12.2012, 13:35

Cheftheoretiker

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Zitat:

@Cheftheoretiker:
Aber was ist die Gegenkathete?
Du kannst doch nicht zwei Strecken (geometrische Objekte) dividieren und eine Zahl erhalten.
Und vor allem: Die Gegenkathete wovon?

klingt logisch. Aber warum klappt das dann? verwirrt

verwirrt

30.12.2012, 13:37

Monoid

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Aber wenn ich die anwende, habe ich im Nenner 0.

30.12.2012, 13:50

Che Netzer

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@Cheftheoretiker: Du möchtest wahrscheinlich Sinus und Cosinus am Einheitskreis definieren. Das Problem ist, dass die gewünschten Längen nicht sinnvoll gemessen werden können.
Stattdessen kann man als Sinus eines Winkels die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Koordinate des Punktes wählen, den man durch Rotation um diesen Winkel von $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ erhält.
Das Problem ist, dass das keine Definition sein kann, denn dieser Punkt ist ja gerade $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der entsprechende Winkel ist – man hat also vor der Definition des Sinus keinen Wert, den man der Länge dieser "Gegenkathete" zuweisen kann.
Wenn man aber den Sinus bereits (z.B. als Reihe) definiert hat, kann man zeigen, dass obiger Vektor gerade durch die genannte Rotation entsteht, also ein Eckpunkt eines Rechtecks mit Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist. Daraus folgt dann die Gleichung für den Sinus, die du als Definition haben wolltest.

@Mmm: Wie hast du das denn hingekriegt?
Wie sah denn deine Potenzschreibweise aus?

30.12.2012, 13:53

Monoid

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{u}}=(\sqrt{u})^{-1} \end{eqnarray*}$

30.12.2012, 14:03

Mystic

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RE: Integration durch Substitution 1
Kehren wir doch mal zum Ausgangspunkt zurück, nämlich

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Ich habe folgendes Integral zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx \end{eqnarray*}$

Ich habe die Substitution $\begin{eqnarray*} x= \sin (u) \Rightarrow \frac{d x}{d u}=\cos(u) \Rightarrow d x = \cos(u) d u \end{eqnarray*}$ gewählt.
Also ist $\begin{eqnarray*} \int\! \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx =\int\!\sin(u)\,du=\cos(u) \end{eqnarray*}$ .

Aber jetzt muss ich ja wieder zurück substituieren. Aber wie geht das?

Hier fehlt nur

$\begin{eqnarray*} \int \frac x{\sqrt{1-x^2}}\, dx =\int \sin u \,du=-\cos u=-\sqrt{1-\sin^2 u}=-\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Statt diese einfache Ergänzung vorzunehmen, werden teilweise ganz abstruse Vorschläge eingebracht, wie die Verwendung des arc cos, oder auch alternative Möglichkeiten der Substitution diskutiert... geschockt

geschockt

Edit: Und ja, hat eigentlich schon jemand darauf hingewiesen, dass

$\begin{eqnarray*} \int \sin u \,du=-\cos u \end{eqnarray*}$

30.12.2012, 14:07

Equester

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Das liegt daran, dass der deinige Weg falsch ist? Oder irre ich?

$\begin{eqnarray*} \int \frac x{\sqrt{1-x^2}}\, dx \neq \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Das passt so nicht. Und das ist ja auch das Problem hier.
Allerdings wäre ich auch so vorgegangen wie du (allerdings ist das Integral des Sinus der Minus Cosinus).

$\begin{eqnarray*} \int \frac x{\sqrt{1-x^2}}\, dx =\int \sin u \,du=-\cos u=-\sqrt{1-\sin^2 u}=-\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Dann würds passen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Edit: Ah, das wurde wohl die ganze Zeit übersehen und du hast es nun auch gerade gesehen Hammer

Hammer

.

30.12.2012, 14:08

Monoid

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RE: Integration durch Substitution 1
Ok, danke!

Aber der andere Weg ist auch interessant. Den will ich mir auch noch angucken, obwohl mir der 1. Weg besser gefällt.

30.12.2012, 14:13

Che Netzer

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RE: Integration durch Substitution 1

Zitat:

Original von Mystic
$\begin{eqnarray*} \int \frac x{\sqrt{1-x^2}}\, dx =\int \sin u \,du=-\cos u=-\sqrt{1-\sin^2 u}=-\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

So wirklich sauber ist das aber auch nicht, da hier sämtliche Beträge ignoriert werden.

@Mmm:
$\begin{eqnarray*} \frac1{\sqrt u}=u^{-\frac12} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.12.2012, 15:19

Mystic

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RE: Integration durch Substitution 1

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Mystic
$\begin{eqnarray*} \int \frac x{\sqrt{1-x^2}}\, dx =\int \sin u \,du=-\cos u=-\sqrt{1-\sin^2 u}=-\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

So wirklich sauber ist das aber auch nicht, da hier sämtliche Beträge ignoriert werden.

Ja, da ist was dran, aber obwohl ich da sonst eher streng bin, würde ich hier beide Augen zudrücken, zumal am Ende dann auch das Richtige herauskommt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

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