Kreis und Parabel

30.12.2012, 12:33

Kreis und Parabel

Ich mache hier grade folgende Aufgabe:

In einem kartesischen Koordinatensystem sind der Graph $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2} x^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x\in \mathbb R ) \end{eqnarray*}$
sowie der Kreis $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit dem Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M(0/2) \end{eqnarray*}$ und dem Radius mit der Maßzahl $\begin{eqnarray*} r=2 \end{eqnarray*}$ gegeben.

Der Graph $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und der Kreis $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ schneiden einander im Punkt $\begin{eqnarray*} S(x_S/y_S) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x_S>0) \end{eqnarray*}$ .

Berechnen Sie das Gradmaß des Schnittwinkels der Tangenten an dem Graphen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .
Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ im I. Quadranten vollständig begrenzen.
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Meine Frage ist eigentlich, ob die Kreisgleichung(en):

$\begin{eqnarray*} k(x)=\pm \sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$

in der Schule behandelt werden? Wir hatten das nämlich noch nicht und ansonsten weiß ich nicht wie ich die Fläche berechnen sollte.
Das Gradmaß krieg ich auch raus ohne den Punkt S zu berechnen. Durch Überlegungen und durch die Zeichnung (im Bildanhang), kann man erkennen dass der Punkt $\begin{eqnarray*} S(2/2) \end{eqnarray*}$ lautet. Das ist ja auch logisch wenn der Kreis einen Radius von 2 hat, dass er wie G durch $\begin{eqnarray*} S(2/2) \end{eqnarray*}$ geht. Obwohl man sich die Funktionsgleichung eigentlich auch aus der Kreisgleichung der Geometrie herleiten kann. Also vermutlich sollte ich die Gleichung schon kennen oder?
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30.12.2012, 13:07

riwe

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RE: Kreis und Parabel
ich denke, die kreisgleichung sollte man kennen.
üblicherweise so:

$\begin{eqnarray*} (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

weiters habe ich den verdacht, dass man den schnittpunkt schon kennen muß, wenn man den schnittwinkel der beiden kurven berechnen will Augenzwinkern

30.12.2012, 13:14

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Ok vielen Dank =)

Zitat:

Original von riwe
weiters habe ich den verdacht, dass man den schnittpunkt schon kennen muß, wenn man den schnittwinkel der beiden kurven berechnen will Augenzwinkern

Ja, ich meine ich muss S nicht berechnen, weil ich den auch über Überlegungen raus kriege.

30.12.2012, 13:33

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RE: Kreis und Parabel

Zitat:

Original von riwe

$\begin{eqnarray*} (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

Wie löse ich das denn nach y auf?

30.12.2012, 13:35

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schon gut ich habs xD

30.12.2012, 13:43

riwe

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RE: Kreis und Parabel
$\begin{eqnarray*} y=y_M\pm\sqrt{r^2-(x-x_M)^2} \end{eqnarray*}$
im konkreten fall ist $\begin{eqnarray*} x_M=0 \end{eqnarray*}$

30.12.2012, 22:07

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Die Ergebnisse:

Der Winkel ist: $\begin{eqnarray*} 26,57° \end{eqnarray*}$

Die Fläche ist: $\begin{eqnarray*} \pi -\frac{8}{3}= 0,47 \end{eqnarray*}$

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