Wahrscheinlichkeitsberechnung beim Fußball-Toto

13.02.2007, 09:53	zwerg	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsberechnung beim Fußball-Toto Hi, ich habe folgende Aufgabe: Beim Fußball-Toto müssen für 11 Spiele jeweils die möglichen Ergebnisse 0 (unentschieden), 1 (Sieg der Heimmannschaft) oder 2 (Sieg der Gastmannschaft) angekreuzt werden. Die Wahrscheinlichkeit für den Sieg einer Mannschaft beträgt jeweils 2/5, die Wahrscheinlichkeit für ein Unentschieden 1/5. Tipper 1 würfelt elfmal und kreuzt bei 1 oder 2 die 0, bei 3 oder 4 die 1 und bei 5 oder 6 die 2 an. Tipper 2 lässt die Möglichkeit des Unentschiedens wegen der geringen Wahrscheinlichkeit einfach weg. Er wirft elfmal eine Münze und kreuzt bei „Kopf“ die 1, bei „Zahl“ die 2 an. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Tipper 1 bzw. Tipper 2 bei allen Spielen richtig gewettet hat? (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Tipper 1 bzw. Tipper 2 genau einen „Treffer“ gelandet hat? bei der Teilaufgabe (a) Tipper 1 habe ich mir überlegt, dass es bei jedem Spiel drei Möglichkeiten gibt, die er ankreuzen kann. also sind es insgesamt 3^11 Möglickeiten von Kombinationen. Außerdem weiß ich, dass die Wahrscheinlickeit (das eine bestimmte Zahl kommt) beim Würfeln 1/6 ist. Nun weiß ich aber nicht weiter. Kann mir da jemand helfen?
13.02.2007, 12:53	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsberechnung beim Fußball-Toto Lesen wir mal die Aufgabe im Detail durch: Beim Fußball-Toto müssen für 11 Spiele jeweils die möglichen Ergebnisse - 0 (unentschieden), - 1 (Sieg der Heimmannschaft) oder - 2 (Sieg der Gastmannschaft) angekreuzt werden. Die Wahrscheinlichkeit für den - Sieg einer Mannschaft beträgt jeweils 2/5, - die Wahrscheinlichkeit für ein Unentschieden 1/5. Tipper 1 würfelt elfmal und kreuzt bei: - 1 oder 2 die 0, bei - 3 oder 4 die 1 und bei - 5 oder 6 die 2 an. Tipper 2 wirft elfmal eine Münze und kreuzt bei - „Kopf“ die 1, bei - „Zahl“ die 2 an. (a1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Tipper 1 bei allen Spielen richtig gewettet hat? Es stimmt schon einnam, dass es $\begin{eqnarray} 3^{11}=177.147 \end{eqnarray}$ verschiedene Tippmöglichkeiten (Spielausgänge) gibt. Jedoch sind nicht alle gleichwahrscheinlich. Beispiel: Nur Heimsiege: $\begin{eqnarray} p(H) = 0.4^{11} \end{eqnarray}$ Nur Unentschieden: $\begin{eqnarray} p(U) = 0.2^{11} \end{eqnarray}$ Es ist nun bei dieser Aufgabe zunächt einmal gefragt, welches Modell hier angewendet werden muss. Nehmen wir ein einfacheres Beispiel. Ich werfe eine Münze, und du sollst sagen ob Kopf oder Zahl. Da du Zahl lieber magst, entscheidest Du dich 60:40. Da ich aber keine ehrliche Haut bin, ist die Münze gezinkt und fällt zu 80% auf Kopf und 20% auf Zahl. Wie hoch ist die WS, dass Du richtig liegst? Machen wir ein Baumdiagramm: (Ich,Du) KK = 0.80.4 = 0.32 KZ = 0.80.6 = 0.48 ZK = 0.20.4 = 0.08 ZZ = 0.20.6 = 0.12 Damit hast Du mit einer WS von p = 0.32 + 0.12 = 0.44 richtig getippt. (a2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Tipper 2 bei allen Spielen richtig gewettet hat?
13.02.2007, 13:35	zwerg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsberechnung beim Fußball-Toto ich hab das jetzt mal für den tipper2 gemacht. die erste zahl ist immer der Tipper 2 und die zweite, das Ereignis was wirklich eintrifft: 11: 1/2 * 2/5 = 1/5 12: 1/2 * 2/5 = 1/5 21: 1/2 * 2/5 = 1/5 22: 1/2 * 2/5 = 1/5 also ist die Wahrscheinlichkeit, damit der Tipper beim ersten Spiel richtig getippt hat, 1/5 + 1/5 = 2/5 =0,4 also ist ja die Gesamtwahrscheinlichkeit, damit der Spieler in allen 11 Spielen richtig getippt hat, (0,4)^11. Stimmt das?
13.02.2007, 14:48	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsberechnung beim Fußball-Toto (a2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Tipper 2 bei allen Spielen richtig gewettet hat? Betrachten wir auch hier wieder das Baumdiagramm. Es wird nur auf Siegspiele gesetzt. Da glücklicherweise immer die gleiche WS an diesen Ästen vorliegt, müssen wir nur bestimmen, wie viele es gibt: WS eines "Siegspielasts" mit richtigen Tipp von Spieler 2: $\begin{eqnarray} (0.4)^{11}\cdot(0.5)^{11} = (0.2)^{11} \end{eqnarray}$ Anzahl der "Siegspieläste" mit richtigem Tipp von Spieler 2: $\begin{eqnarray} 2^{11}\cdot 1^{11}= 2048 \end{eqnarray}$ Macht eine WS von: $\begin{eqnarray} p=(0.2)^11\cdot 2^{11}\cdot 1^{11}=(0.4)^{11} \end{eqnarray}$ Wie sieht's nun mit Spieler 1 aus?
14.02.2007, 16:24	zwerg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsberechnung beim Fußball-Toto Beim Spieler 1 müsste es ja dann so sein: die erste Zahl ist das, was Tipper 1 getippt hat und die zweite ist, was eingetroffen ist: es gibt folgende Kombinationen: 00, 01, 02, 10, 11, 12, 20, 21, 22 da wir ja nur die richtig getippten Spielen suchen, berechne ich jetzt die Wahrscheinlichkeiten von den Kombinationen: 00 11 22 P(00)=1/31/5=1/15 P(11)=1/32/5=2/15 P(22)=1/3*2/5=2/15 wenn man diese miteinander addiert, hat man ja dann die wahrscheinlichkeit, dass der Tipper das erste Spiel richtig getippt hat. Also 1/3. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist ja dann: (1/3)^11
14.02.2007, 16:51	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsberechnung beim Fußball-Toto Tipper 1 würfelt elfmal und kreuzt bei: - 1 oder 2 die 0, bei - 3 oder 4 die 1 und bei - 5 oder 6 die 2 an. $\begin{eqnarray} p(T0) = \frac{1}{3},~p(T1) = \frac{1}{3},~p(T2) = \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ D.h. die WS, dass Spieler 1 bei einem Spiel einen richtigen Tipp abgibt ist $\begin{eqnarray} p=\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ Da er dies 11mal tun muss, folgt: $\begin{eqnarray} (\frac{1}{3})^{11} \end{eqnarray}$ Da er im Gegensatz zu Spieler 2, alle möglichen Ausgänge tippen kann (von denen gibt es $\begin{eqnarray} 3^{11}=177.147 \end{eqnarray}$ , folgt für die Gesamt-Wahrscheinlichkeit (Summe aller Äste $\begin{eqnarray} E_j \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} WS = \sum_{j=1}^{3^{11}}~p(E_j)\cdot (\frac{1}{3})^{11} = (\frac{1}{3})^{11} \sum_{j=1}^{3^{11}}~p(E_j) = (\frac{1}{3})^{11} \end{eqnarray}$
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