Münzen unendlich stapelbar?

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30.12.2012, 12:41	Justus93	Auf diesen Beitrag antworten »
Münzen unendlich stapelbar? Meine Frage: Hallo, ich habe ein Problem mit dem Problem "Münzen stapeln", welches laut Wikipedia mit der Harmonischen Reihe verknüpft ist. Meine Frage: a) Es soll gezeigt werden, dass durch versetztes Aufeinanderstapeln von 2-Euro-Münzen ein Turm mit beliebigen Überhang gebaut werden könnte. b) Der Radius einer anderen Münze beträgt r=1,1cm. Schätzen sie, wie viele Münzen für einen Überhang von 15cm erforderlich sind. Der Hinweis zu a), der bei der Aufgabe steht, findet ihr hier in dem Link: http://www.upl.co/uploads//Munzen-stapelnAufgabe.png (ich weiß nicht, wie ich solche Formeln hier tippen kann, daher dieser Umweg) Grüßle Justus Meine Ideen: Zu a) Hatte ich mir, bevor ich den Hinweis las auch eine Harmonische reihe überlegt, die den Überhang beschreibt. Di Divergiert nach unendlich, was ja passen würde. Ich weiß leider nicht, wie ich mit dem Hinweis zur Aufgabe a) umgehen soll bzw. a) damit lösen kann. Könnt ihr mir da helfen? zu b) hätte ich auch wieder meine harmonische Reihe genutzt, stehe jedoch da vor dem Problem, dass ich ja n berechnen müsste und da weiß ich nicht, wie das gehen sollte. Hier meine harmonische Reihe: Überhang= (2r/2) * (Summe von k=1 bis n) für 1/k
30.12.2012, 13:04	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur a) solltest du $\begin{eqnarray} u_k \end{eqnarray}$ explizit angeben und zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty u_k \end{eqnarray}$ divergiert. Zur b): Das hört sich an, als solltest du einfach raten... Zur genauen Berechnung könntest du so viele Partialsummen bilden, bis du den gewünschten Überhang erreicht hast.
30.12.2012, 18:56	Justus93	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für die Antwort. Zu a) Das war mir klar, jedoch liegt genau da das Problem, das aus der rekursiven Formel zu bekommen. Das bekomme ich partout nicht hin. Gibt's da einen Tipp? Oder können wir die Lösung gemeinsam erstellen? Zu b) Naja, man kann ja abschätzen, dass es mehrere 1000 Münzen sein müssen, da ja immer weniger Überhang hinzukommt und die erse Münze max. r/2 Überhang haben kann. Jedoch sollen wir einen genauen Wert angeben. Nur fehlt mir da die Idee. Hoffe auf Tipps oder Anreize zur gemeinsamen Erarbeitung der Lösung mit euch. Grüße Justus
30.12.2012, 19:26	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Machen wir doch erstmal a)... Schreibe da mal alle relevanten Formeln untereinander sauber auf.
31.12.2012, 09:25	Justus93	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke, habe ich getan. Ich sehe, dass s_1 gegeben ist und ich mit k=1 s_2 berechnen könnte. Das ergibt dann 1r+1(r+r)/(1+1) = 3r/2 damit könnte ich weitere Werte berechnen. Leider sehe ich tatsächlich nicht, wie ich u_k, also den Überhang mit einer expliziten Formel berechnen sollte. Für k=1 und daher u_1 ergibt sich (r+r)-µ_k Aber was ist µ_k? Ich habe ja nur µ_k+1=s_k+r Kannst du mir da noch etwas mehr helfen?
31.12.2012, 12:12	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze doch erstmal $\begin{eqnarray} \mu_{k+1} \end{eqnarray}$ in die Formel für $\begin{eqnarray} s_{k+1} \end{eqnarray}$ ein.
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31.12.2012, 12:38	Justus93	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, ok. Dann kommt folgendes raus: s_(k+1) = kS_k + 1(S_k + r)/(k+1) = kS_k + S_k + r/(k+1) = 2kS_k + r/(k+1) Oder, wenn ich u_k = my_(k+1) - my_k nach my_(k+1) umstelle: s_(k+1) = kS_k + 1(my_k + u_k)/(k+1) Und nun? Grüße
31.12.2012, 12:41	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist (abgesehen von fehlender Klammersetzung) etwas beim Zusammenfassen durcheinandergeraten. Fang nochmal bei $\begin{eqnarray} \frac{ks_k+s_k+r}{k+1} \end{eqnarray}$ an.
31.12.2012, 12:48	Justus93	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte kS_k + S_k könnte ich zu 2kS_k zusammenfassen?
31.12.2012, 12:50	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, eben nicht Du kannst aber $\begin{eqnarray} s_k \end{eqnarray}$ ausklammern. (und es ist ein kleines s, kein großes)
31.12.2012, 13:00	Justus93	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah. Ich dachte, weil k ja nur ein Faktor ist, ginge das. Nagut, dann kommt folgendes raus: k*s_k + s_k + r/(k+1) = s_k(k + 1) + r/(k+1) Oh, jetzt sehe ich ja endlich mal etwas gutes: s_k(k + 1)/(k+1) + r/(k+1) = s_k + r/(k+1) Aber Rekursiv ist diese Folge doch immer noch, oder? Wie bekomme ich daraus jetzt etwas für Überhang u_k?
31.12.2012, 13:23	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist nur ein Faktor, aber es ist ja auch $\begin{eqnarray} k+1=k\cdot1+1\neq2k \end{eqnarray}$ . Und jetzt hast du eigentlich eine recht schöne Rekursionsgleichung. Um $\begin{eqnarray} s_{k+1} \end{eqnarray}$ zu erhalten, nimmt man sich $\begin{eqnarray} s_k \end{eqnarray}$ und addiert $\begin{eqnarray} \frac r{k+1} \end{eqnarray}$ hinzu. Nach welcher expliziten Darstellung hört sich das an?
31.12.2012, 13:32	Justus93	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde die Harmonische Reihe vorschlagen. Somit wäre dann Summe 1/k und irgendwo muss noch das r mit rein. Vermutlich wird dann r/k sein, weil Nenner wenig Sinn im Sachzusammenhang macht. Math. kann ich es aber nicht erklären.
31.12.2012, 14:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, es ist $\begin{eqnarray} s_k=s_1+\sum_{n=2}^k\frac rn \end{eqnarray}$ . Jetzt kannst du dir überlegen, wieso auch $\begin{eqnarray} s_k=\sum_{n=1}^k\frac rn \end{eqnarray}$ – und wieso das überhaupt gilt; dazu kannst du dir die Differenz $\begin{eqnarray} s_{k+1}-s_k \end{eqnarray}$ ansehen.
31.12.2012, 14:56	Justus93	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut Verstanden. Eigentlich gar nicht so schwer, wie gedacht. Nun soll ich mir ja auch noch Überlegen, für r=1,1 15 cm Überhang Also muss die Reihe gleich 15 gesetzt werden. Ausrechnen wäre aber sehr langwierig. Das müssen mehr als 10000 einzelne Glieder sein. Wie kann ich das nun berechnen?
31.12.2012, 15:01	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, genau genommen hast du jetzt nur eine Formel für die Schwerpunkte, du bräuchtest aber eine für die Überhänge. Aber das wird kein großer Unterschied. Ich glaube auch nicht, dass ihr in der b) einen genauen Wert ausrechnen müsst, ich wüsste jedenfalls nicht, wie das ohne Rechner gehen sollte.
31.12.2012, 15:06	Justus93	Auf diesen Beitrag antworten »
Er will einen Wert hören, der durch Abschätzen gefunden werden kann. Nur wie genau das gehen soll, ohne Rechner weiß ich eben nicht.
31.12.2012, 15:08	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte das "Schätzen Sie" so verstanden, dass man ganz einfach schätzen soll.
31.12.2012, 15:12	Justus93	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, und was schätzen wir? Hatte eine App, die bis 10000 rechnen konnte. Da sind wir gerade mal bei 10 bis 11cm Also würde ich schätzten mehr als 100000
31.12.2012, 15:15	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, das ist ja schonmal eine Schätzung WolframAlpha scheint ca. eine Million gutzuheißen, da sind es schon ein klein wenig mehr als 15cm.
31.12.2012, 15:17	Justus93	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gibt man das bei Wolfram Alpha ein?
31.12.2012, 15:23	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe einfach sum_(k=1)^(1000000) 1.1/k eingegeben.
31.12.2012, 15:29	Justus93	Auf diesen Beitrag antworten »
Jau, danke sehr. Dann hat es sich nun erledigt. Vielen dank für die gute Hilfe.

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