Umformung (Grenzwert)

30.12.2012, 14:31

Chris00

Umformung (Grenzwert)

Hallo,

ich verstehe nicht, wie man folgendes Umformt. (s.u.) Ich habe aus einem Buch den Beweis für...

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{q^n}{n!}} = 0 \end{eqnarray*}$

Nun wählt man, um das Majorantenkrit. nutzen zu können ein N aus IN

$\begin{eqnarray*} \frac{|q|}{N} \le \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Soweit ist alles klar... nun kommt die Ungleichungskette, welche ich nicht durchschaue...

$\begin{eqnarray*} \frac{|q|^n}{n!} = \frac{|q|}{n} * \frac{|q|^{n-1}}{(n-1)!} \le \frac{1}{2} * \frac{|q|^{n-1}}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

soweit ist klar... aber nun kommt fogendes...

$\begin{eqnarray*} \le (\frac{1}{2})^{n-N} * \frac{|q|^N}{N!} \end{eqnarray*}$

wie kommts auf einmal zu n-N ? und wie kommt er zu N! ? Könnt ihr mir das etwas aufschlüsseln?

anschließend wird so umgeformt...

$\begin{eqnarray*} \le \frac{|2q|^N}{N!} (\frac{1}{2})^n \end{eqnarray*}$

Ich hab absolut keine Ahnung wie er darauf kommt... Kann mir wer einen Tipp geben?

Gruß
Chris

30.12.2012, 14:54

Che Netzer

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RE: Umformung (Grenzwert)

Zitat:

Original von Chris00
$\begin{eqnarray*} \le (\frac{1}{2})^{n-N} * \frac{|q|^N}{N!} \end{eqnarray*}$

wie kommts auf einmal zu n-N ? und wie kommt er zu N! ? Könnt ihr mir das etwas aufschlüsseln?

Die vorige Ungleichung wird immer weiter angewandt. Der Exponent von $\begin{eqnarray*} \lvert q\rvert \end{eqnarray*}$ wird dabei immer um Eins reduziert; das führt man so lange fort, bis er $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \le \frac{|2q|^N}{N!} (\frac{1}{2})^n \end{eqnarray*}$

Da gilt sogar Gleichheit, vielleicht wird das mit $\begin{eqnarray*} \left(\frac12\right)^{n-N}=\frac{2^N}{2^n} \end{eqnarray*}$ deutlich.

Wenn du schon Konvergenzkriterien für Reihen kennst, könntest du auch einen anderen Beweis finden, indem du die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{q^n}{n!} \end{eqnarray*}$ mittels Quotientenkriterium zeigst.

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