Grenzwert von Reihen berechnen

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30.12.2012, 14:52	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von Reihen berechnen Hallo, ich habe einige Reihen vorgegeben, bei denen ich den Grenzwert bestimmen soll. Komme leider gerade nicht weiter, vllt kann mir einer von euch helfen. 1) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty (\frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} ) \end{eqnarray}$ Bei der ersten Reihe habe ich zuerst versucht die Brüche zu erweiter, jedoch kam dann am Ende nicht wirklich was sinnvolles raus. Dann habe ich mal die ersten 5 Partialsummen hingeschrieben und ich konnte erkennen, dass sich alles immer aufhebt, bis auf -1/2 am Anfang. Jedoch kommt bei der Lösung 1/2 raus. Kommt das daher, dass sich die letzte Partialsumme zum Schluss, der vordere Teil davon, schon so nah der 1 genährt hat, und dieser ja auch nicht mehr wegfällt, dass dann im Ergebnis -1/2 + 1 steht? Wie kann ich das richtig aufschreiben und begründen? Einfach sagen, es handelt sich um eine Teleskopsumme? 2) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{3^{n-1}} \end{eqnarray}$ Bei der zweiten Reihe, habe ich mir auch die ersten Partialsummen hingeschrieben... 1/3+1/9+1/27.... jedoch weiß ich jetzt nicht wie ich den Grenzwert dieser Reihe bestimmen kann. Kann mir dort vielleicht einer weiter helfen? Vielen Dank schonmal im Voraus!
30.12.2012, 14:56	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Reihen berechnen Zu 1): Die Indizes stimmen da wohl nicht. Jedenfalls ist die $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ -te Partialsumme gerade $\begin{eqnarray} \frac{N+1}{N+2}-\frac12 \end{eqnarray}$ und das konvergiert gegen $\begin{eqnarray} \frac12 \end{eqnarray}$ . Dass obiger Ausdruck tatsächlich die Partialsumme ist, musst du natürlich noch zeigen. Zu 2): Die Formel für geometrische Reihen kennst du, oder?
30.12.2012, 15:03	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
kann dir bei der ersten noch nicht ganz folgen ich habe ja dort stehen wenn ich mal die ersten einsetze $\begin{eqnarray} (\frac{2}{3}-\frac{1}{2}) + (\frac{3}{4} - \frac{2}{3}) + (\frac{4}{5} - \frac{3}{4} ) + .... \end{eqnarray}$ Jetzt war meine Überlegung, dass die $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ am Anfang ja nicht rausgekürzt werden können, und bei der Stelle n also $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{n+1}{n+2} \end{eqnarray}$ 1 wird und dies auch nicht mehr rausgekürzt wird, dass dort dann zum Schluss -1/2 + 1 steht, was eben 1/2 ist.
30.12.2012, 15:10	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungefähr das zeigst du, nachdem du die genannte Formel für Partialsummen gezeigt hast; das könntest du induktiv machen.
30.12.2012, 15:14	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
okay wie würde da mein ansatz lauten? habe sowas noch nie selber aufgestellt
30.12.2012, 15:17	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Überlege dir als erstes, was du zeigen möchtest.
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30.12.2012, 15:19	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
okay ich möchte zeigen, dass sich alles rauskürzt bis auf die letzte zahl, sozusagen bei n= unendlich und natürlich die -1/2 am anfang
30.12.2012, 15:31	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Würdest du nicht lieber zeigen wollen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^N\left(\frac{n+1}{n+2}-\frac n{n+1}\right)=\frac{N+1}{N+2}-\frac12\,? \end{eqnarray}$
30.12.2012, 15:39	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
okay das klappt gut, vielen Dank dafür! ich habe in der zwischenzeit schon eine andere aufgabe angefangen, wo es auch etwas hakt. Wenn du Lust hast kannst du dir die ja auch noch angucken. 3) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} \end{eqnarray}$
30.12.2012, 15:46	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Da schiebe mal ein $\begin{eqnarray} n-n \end{eqnarray}$ in den Zähler.
30.12.2012, 15:51	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
wie genau meinst du das? kannst du das mal aufschreiben?
30.12.2012, 16:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du schon von etwas wie einer produktiven Null gehört? Dabei schreibt man eigentlich nur $\begin{eqnarray} +0 \end{eqnarray}$ irgendwohin und schreibt die Null so um, dass man etwas damit anfangen kann.
30.12.2012, 16:03	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
okay habe ich verstanden, aber wie genau lässt sich das jetzt auf meine Summe anwenden? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n-n}{n(n+1)} \end{eqnarray}$ das würde ich jetzt aus deiner aussage verstehen....
30.12.2012, 16:11	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt sind alle Summanden Null, so ist das natürlich nicht dieselbe Reihe.
30.12.2012, 16:26	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
okay dann muss im zähler natürlich 1+n-n stehen?
30.12.2012, 16:30	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dann passt es.
30.12.2012, 16:45	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
oh sry hab nicht gesehen das wir schon auf seite 2 sind^^ okay dann habe ich den ausdruck da stehen, allerdings weiß ich jetzt trotzdem nicht wie ich geschickt umformen kann damit der ausdruck einfacher wird?!
30.12.2012, 16:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hilft die Klammerung $\begin{eqnarray} 1+n-n=(1+n)-(n) \end{eqnarray}$ ?
30.12.2012, 16:52	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1+n}{n(n+1)} -\frac{n}{n(n+1)} \end{eqnarray}$ ja soweit war ich auch gerade^^ aber ich sehe trotzdem noch nicht wie es mir hilft....
30.12.2012, 17:01	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
okay habs, hat etwas gedauert aber habs jetzt auch gesehen^^ ganz einfach... kann ich denn wenn ich da jetzt stehen habe 1- ....(hebt sich alles auf) ....-1/unendlich sagen, dass bei 1/n der Grenzwert 0 ist und deshalb als ergebnis 1 rauskommt?
30.12.2012, 17:07	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis stimmt, aber die Rechnung musst du natürlich etwas ausführlicher durchführen.
30.12.2012, 17:11	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
okay ich habe jetzt die ersten 5 glieder hingeschrieben und man sieht ja, dass sich alles aufhebt. Habe dann als Argumentation drunter geschrieben, dass die 1 am anfang nicht rausgekürzt wird und die restlichen Glieder immer weiter gegen 0 laufen, dazu habe ich die Grenzbetrachtung von dem Teil gemacht, der zum Schluss noch übrig bleibt und nicht weggekürzt wird, nämlich so: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } -\frac{1}{n+1} = 0 \end{eqnarray}$ woraus dann die Gleichung folgt: $\begin{eqnarray} 1- \lim_{n \to \infty } -\frac{1}{n+1} = 1 \end{eqnarray}$
30.12.2012, 17:15	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist zwar ein Vorzeichen durcheinandergeraten, aber das ändert ja nichts... Jetzt musst du nur wissen, ob das ausführlich genug ist, um akzeptiert zu werden.

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