ggT(na,nb)=n*ggT(a,b) was wenn n negativ?

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Very Auf diesen Beitrag antworten »
ggT(na,nb)=n*ggT(a,b) was wenn n negativ?
Hallo,
ich bin gerade beim Beweis der Aussage

Seien . Dann gilt:
.

Der Beweis ging über den euklidischen Algorithmus indem man

a zerlegt in und da n eine natürliche Zahl ist gilt:

b zerlegt in und

Wenn man also na und nb betrachtet, wird das n in jeden Summanden gezogen und das ganze wird gezeigt, indem man den Algorithmus fortführt.

Jetzt habe ich mir überlegt, was passieren würde, wenn n negativ wäre? Gibt es überhaupt einen ggt von negativen Zahlen? z.B. von -3 und 5? Und was wäre dieser dann? 1 oder -1?

Wenn ich mir das richtig überlegt habe, müsste das hier nicht durchlaufen wenn n möglicherweise negativ wäre (also z.B. ). Denn da ich auch den Rest mit n multipliziere, würde z.B. bei a das hier nicht mehr unbedingt gelten:



Was meint ihr?
lg Very
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ggT(na,nb)=n*ggT(a,b) was wenn n negativ?
Zitat:
Original von Very
Jetzt habe ich mir überlegt, was passieren würde, wenn n negativ wäre? Gibt es überhaupt einen ggt von negativen Zahlen? z.B. von -3 und 5? Und was wäre dieser dann? 1 oder -1?

n ist eine natürliche Zahl und damit nichtnegativ... Außerdem gilt ggT(a,b)=ggT(|a|,|b|), daher verstehe ich deine Sorgen nicht...
Very Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für deine Antwort.

Zitat:
Außerdem gilt ggT(a,b)=ggT(|a|,|b|)

ah, ok.. das wusste ich nicht. Dann ist also ggT(-3,5)=1

Und vielleicht habe mich mich etwas missverständlich ausgedrückt. Bei dem Beweis ist n positiv und das läuft auch alles durch so. Ich hatte mir nun überlegt, was passieren würde, wenn n negativ wäre und ob dann dieser Beweis immernoch klappen würde (da mir zu Beginn nicht klar, war, warum da stand und z.B. nicht ).

Ich kam dann zu dem Ergebnis, dass das ganze für nicht stimmt (siehe erster Post) und dass deshalb n in den natürlichen Zahlen sein muss.

Deshalb ist meine Frage immernoch, ob ich richtig erkannt habe, dass dieser Beweis für negative n schiefgeht?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Very
Deshalb ist meine Frage immernoch, ob ich richtig erkannt habe, dass dieser Beweis für negative n schiefgeht?

Für negative n stimmt nicht nur dein Beweis nicht, sondern ist auch die Behauptung

ggT(na,nb)=n*ggT(a,b)

klar falsch, weil dann - außer für a=b=0 - die beiden Seiten der Gleichung verschiedenes Vorzeichen haben, da ja größte gemeinsame Teiler per definitionem nichtnegativ sind...
Very Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt - so einfach kanns gehen... Da hab ich wohl etwas kompliziert gedacht... Und wenn schon die Behauptung falsch ist, kann der Beweis ja gar nicht klappen.
Danke für die Hilfe smile
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