komplexe Potenzreihe Konvergenzradius |
| 30.12.2012, 15:40 | lelalin-ersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| komplexe Potenzreihe Konvergenzradius Hallo, ich sitze hier an einer Aufgabe, wobei und soll den Konvergenzradius bestimmen. Meine Ideen: Das Quotientenkriterium funktioniert nicht, da bleibt Kann ich das Wurzelkriterium zwei mal verwenden? So dass am Schluss steht: ? Dann kann ich feststellen, dass der Term für k gegen unendlich gegen konvergiert und als Lösung festsetzen ? Denn konvergiert gegen 1? |
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| 30.12.2012, 15:45 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: komplexe Potenzreihe Konvergenzradius
Da ist die Klammersetzung durcheinandergeraten.
Das geht jedenfalls nicht... |
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| 30.12.2012, 15:47 | Slash123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, ich weiß wo du studierst, die Aufgabe kommt mir bekannt vor. 
Folgendes könnte helfen: Benutze die Abschätzung . Edit: Wenn Che helfen will, bin ich raus. |
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| 30.12.2012, 15:53 | lelalin-ersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die erste offene Klammer war wohl zu viel. Gut dann hab ich weiter keinen Plan. Wenn ich die Abschätzung verwende, kann ich wieder nur das Wurzelkriterium verwenden, Quotientenkrit liefert mir kein Ergebnis. Beim Wurzelkriterium bin ich dann aber beim gleichen Problem, k*(z+1)^k wäre das Ergebnis, damit kann ich aber noch nichts anfangen? |
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| 30.12.2012, 15:55 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit dem Wurzelkriterium kommt man hier kaum voran. Das Quotientenkriterium ist hier viel sinnvoller, ggf. nach der Substitution . |
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| 30.12.2012, 15:59 | lelalin-ersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh mist, es hat sich ein Fehler eingeschlichen! Die Aufgabe lautet: Also k quadrat als Exponent! Sorry. Dann funktioniert die Substitution nicht... |
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| 30.12.2012, 16:08 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann würde ich dennoch zum Quotientenkriterium raten. |
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| 30.12.2012, 16:12 | lelalin-ersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab das ja mit dem Quotientenkriterium schon versucht zu rechnen und mein Ergebnis in der Frage mit aufgeschrieben. Es kommt dann raus: Da kann ich doch nicht Konvergenz bestimmen? Und was ist mit der Abschätzung? Würde ich dann mit dem Wurzelkriterium weiterkommen? |
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| 30.12.2012, 16:15 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eigentlich erhältst du , also mit Beträgen. Jetzt ist hoffentlich bekannt, dass exponentielles Wachstum stärker ist als polynomielles. Und welche Abschätzung meinst du? |
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| 30.12.2012, 16:19 | lelalin-ersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das würde heißen, dass der Term (mit Beträgen) gegen unendlich konvergiert, oder? Kann ich das einfach so sagen? Ohne weiteren Beweis? Die Abschätzung von Slash123 meinte ich, aber wenn es ohne Abschätzung geht, ist mir das auch recht. |
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| 30.12.2012, 16:21 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das stimmt im allgemeinen auch gar nicht. Die Idee mit der Abschätzung kann Slash123 danach ja noch erläutern 
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| 30.12.2012, 16:24 | lelalin-ersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, dann kann man das nicht sagen. Dann dachte ich gerade daran, dass für z=-1 der Term gegen 0 konvergiert und somit für z=-1 die Reihe konvergiert. Muss ich eine Fallunterscheidung machen? Ich kann mir gerade nicht vorstellen, dass der Term für ein anderes z auch noch konvergiert. |
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| 30.12.2012, 16:28 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Natürlich konvergiert die Reihe für . Wie sieht es denn aber mit aus – wogegen kann das konvergieren? |
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| 30.12.2012, 16:31 | lelalin-ersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es kann gegen 1 für z=0 konvergieren, dann würde alles aber auch gegen unendlich konvergieren und ansonsten kann (z+1) nur positiv sein wegen Betrag und somit nur gegen Plus unendlich konvergieren. |
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| 30.12.2012, 16:34 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ergibt weder grammatikalisch noch inhaltlich Sinn. Es ist . Wie verhalten sich denn Exponentialfunktionen im Unendlichen abhängig von der Basis? |
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| 30.12.2012, 16:42 | lelalin-ersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn die Basis kleiner als 1 ist, dann konvergiert die Exponentialfunktion gegen Null. Wenn die Basis größer als 1 ist, dann konvergiert die Exponentialfunktion gegen unendlich. PARDON, wegen DEM Betrag... Für z=0 ist die Basis der Exponentialfunktion 1, somit betrachte man (k+1)*1, dies konvergiert für k gegen unendlich gegen unendlich. |
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| 30.12.2012, 16:45 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das liefert den Grenzwert für und Null für . |
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| 30.12.2012, 16:47 | lelalin-ersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Noch eine Frage, warum darf ich das Wurzelkriterium nicht zwei mal anwenden? Es würde das gleiche Ergebnis raus kommen? |
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| 30.12.2012, 16:54 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie willst du das denn zweimal anwenden? Möchtest du den Grenzwert von bestimmen, um etwas über die Konvergenz von zu erfahren? |
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| 30.12.2012, 16:57 | lelalin-ersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja genau. Also kann man nun allgemein sagen, dass es nicht möglich ist, das Wurzelkriterium zweimal anzuwenden? Es kam bei mir eben das gleiche Ergebnis raus und das macht mich stutzig. |
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| 30.12.2012, 17:06 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, im Prinzip dürfte das tatsächlich funktionieren, es kann aber im allgemeinen kein genaueres Ergebnis liefern. |
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