allgemeine Matrix invertieren

30.12.2012, 15:50

nihal67

allgemeine Matrix invertieren

Meine Frage:
Hallo,
kann mir jemand vielleicht beim inventiere einer allgemeinen Matrix A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}

Die Aufgabe lautet: Zeigen sie: DIeMatrix A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \in M(2,K) ist genau dann invertierbar, wenn ad-bc \neq 0. in diesem Fall
A^-1= (ad-bc)^-1 \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}

Meine Ideen:
Meine Idee:
ich habe versucht es durch den Gaußalgorithmus nachzuweisen:
a b | 1 0
c d | 0 1

a b | 1 0
0 ad-bc | -c a a*2,zeile-c1.zeile

ich komme aber leider nicht weiter

30.12.2012, 15:56

Baby seal

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Jetzt die Fallunterscheidung machen die die Aufgabenstellung suggeriert.

30.12.2012, 16:34

RavenOnJ

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RE: allgemeine Matrix invertieren
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Betrachte doch die Determinanten von $\begin{align*} A \end{align*}$ und $\begin{align*} A^{-1} \end{align*}$ und berücksichtige die Rechengesetze für Determinanten. Es ist ja:

$\begin{align*} |A| = ad-bc \end{align*}$

31.12.2012, 10:58

nihal67

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RE: allgemeine Matrix invertieren
Die Determinante für A^-1 müsste ja dann einfach (ad-cb)^-1 sein.

Ich weiß leider nicht wie man auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} d & -c\\ -b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kommt

31.12.2012, 16:10

RavenOnJ

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RE: allgemeine Matrix invertieren

Zitat:

Original von nihal67
Die Determinante für A^-1 müsste ja dann einfach (ad-cb)^-1 sein.

das ist richtig

Zitat:

Ich weiß leider nicht wie man auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} d & {\color{red}-b}\\ {\color{red}-c} & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kommt

(Matrix korrigiert)

Multipliziere doch einfach

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und gucke was rauskommt.

31.12.2012, 17:03

nihal67

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RE: allgemeine Matrix invertieren
Dankee dir smile

Da kommt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & -bc+ad \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
raus

aber reicht das für die Aufgabe, weil ich ja beweisen sollte, dass
$\begin{eqnarray*} A^-1 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (ad-bc)^-1 \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

31.12.2012, 17:37

RavenOnJ

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RE: allgemeine Matrix invertieren

Zitat:

Original von nihal67
Da kommt
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & -bc+ad \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
raus

Wie kann man das einfacher schreiben und was ist die Determinante dieser Produktmatrix? Dann solltest du auch das andere beantworten können.

01.01.2013, 13:33

nihal67

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RE: allgemeine Matrix invertieren
Was meinst du mit einfacher schreiben? Die Determinante lässt sich doch so berechnen oder: (ad-bc)*(-bc+ad)= -2adbc+ad^2+bc^2 ????

01.01.2013, 15:25

RavenOnJ

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"Einfacher schreiben" bedeutet hier zum Beispiel, einen gemeinsamen Faktor vor die Matrix ziehen, also:

$\begin{eqnarray*} A\cdot \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix} =(ad-bc)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = |A|\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}<br /> <br /> \Longrightarrow A^{-1} = |A|^{-1}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Man sollte bei der Berechnung der Determinante darauf achten, dass gilt

$\begin{eqnarray*} |\alpha R| = \alpha^n |R|, \alpha \in \mathbb{R}, R\in \mathbb{R}^{n\times n}<br /> \end{eqnarray*}$

03.01.2013, 22:14

nihal67

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Somit ist die Aufgabe fertig oder?

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