Doppelpost! Zweite Ableitung kürzen & vereinfachen

30.12.2012, 16:01

Noctunsin

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Zweite Ableitung kürzen & vereinfachen

Meine Frage:
Hallo, ich habe ein Problem beim Lösen bzw Vereinfachen von meiner 2. Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{x^{3} }{x^{2} -4} \end{eqnarray*}$ .

Als Ergebnis der 1. Ableitung erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{x^{4}-12x^{2} }{(x^{2} -4) ^{2} } \end{eqnarray*}$ .

Davon die 2. Ableitung ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{(4x^{3}-24x)(x^{2}-4)^{2}-(x^{4}-12x)(2(x^{2}-4)2x)}{(x^{2}-4)^{4}} \end{eqnarray*}$
Edit:Formatierung korrigiert

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \frac{(4x^{3}-24x)(x^{2}-4)^{2}-2(x^{4}-12x)2x(x^{2}-4)}{(x^{2}-4)^{4}} \end{eqnarray*}$

Nun ist mein Ziel, diese 2. Ableitung zu vereinfachen.
In diesem Schritt kürze ich mit $\begin{eqnarray*} (x^{2}-4) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \frac{(4x^{3}-24x)(x^{2}-4)^{2}-2(x^{4}-12x)2x}{(x^{2}-4)^{3}} \end{eqnarray*}$
Anschliessend fasse ich -2 und 2x zusammen, dies ergibt -4x:
$\begin{eqnarray*} \frac{(4x^{3}-24x)(x^{2}-4)^{2}-4x(x^{4}-12x)}{(x^{2}-4)^{3}} \end{eqnarray*}$

Der Rechenschritt meines Profs an der Stelle ist jedoch:
$\begin{eqnarray*} \frac{(4x^{3}-24x)(x^{2}-4)-4x(x^{4}-12x)}{(x^{2}-4)^{3}} \end{eqnarray*}$ ...aber ich verstehe nicht warum! Er hat eine Klammerpotenz von $\begin{eqnarray*} (x^{2}-4)^{2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} (x^{2}-4) \end{eqnarray*}$ wegfallen lassen.

Die vollständige Lösung der Aufgabe ist: $\begin{eqnarray*} \frac{8x^{3}+96x }{(x^{2}-4)^{3} } \end{eqnarray*}$
Und egal was ich mache, ich komme nicht auf diese Lösung. Welche Rechenregel wende ich nur falsch an? Und wie gehe ich hier korrekt vor?

Vielen Dank schonmal im Vorraus!

30.12.2012, 16:07

conlegens

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RE: Zweite Ableitung kürzen & vereinfachen
Du hast im 1. Zählerprodukt nicht mit $\begin{eqnarray*} (x^2-4) \end{eqnarray*}$ gekürzt.

30.12.2012, 16:22

Noctunsin

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RE: Zweite Ableitung kürzen & vereinfachen
$\begin{eqnarray*} \frac{2x(x^{2}-4)}{(x^{2}-4)^{4}} \end{eqnarray*}$

Gut, gekürzt habe ich nich, aber wenn ich über die Potenzregel gehe ergibt das doch: $\begin{eqnarray*} 2x(x^{2}-4)^{1-4} = \frac{1}{(x^{2}-4)^{-3}}=(x^{2}-4)^{3} \end{eqnarray*}$ ... oder nich? ... grade selbs gesehen. ist falsch.

richtig wäre: $\begin{eqnarray*} 2x(x^{2}-4)^{1-4} = \frac{2x}{(x^{2}-4)^{-3}} \end{eqnarray*}$

30.12.2012, 16:46

conlegens

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RE: Zweite Ableitung kürzen & vereinfachen
Im Nenner steht $\begin{eqnarray*} (x^2-4)^3 \end{eqnarray*}$ .

30.12.2012, 16:51

Noctunsin

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Auf welchen Nenner, in welchem Beitrag, beziehst Du Dich gerade und was möchtest Du mich mit Deinen bisherigen Antworten hinweisen? Ich komme nicht drauf :/

30.12.2012, 17:08

conlegens

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In deinem vorletzten Beitrag hast du hoch MINUS 3 im Nenner stehen. Das ist falsch:Es muss lauten:

$\begin{eqnarray*} 2x/(x^2-4)^3 \end{eqnarray*}$

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30.12.2012, 17:11

Noctunsin

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$\begin{eqnarray*} \frac{(4x^{3}-24x)(x^{2}-4)^{2}-2(x^{4}-12x^{2})2x(x^{2}-4)}{(x^{2}-4)^{4}}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(4x^{3}-24x)(x^{2}-4)^{2}}{(x^{2}-4)^{4}} -\frac{2(x^{4}-12x^{2})2x(x^{2}-4)}{(x^{2}-4)^{4}} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(4x^{3}-24x)(x^{2}-4)}{(x^{2}-4)^{3}} -\frac{2(x^{4}-12x^{2})2x}{(x^{2}-4)^{3}}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(4x^{3}-24x)(x^{2}-4)-2(x^{4}-12x^{2})2x}{(x^{2}-4)^{3}} \end{eqnarray*}$

Meinst Du so? wäre das korrekt?

edit von sulo: Zeilenumbrüche für die bessere Lesbarkeit des Threads eingefügt.

30.12.2012, 17:18

conlegens

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Warum nochmal so kompliziert?
Nach dem richtigen Kürzen (siehe Professor) musst du nur noch ausmultiplizieren und zusammenfassen. Gehe nochmal an diese Stelle zurück.

30.12.2012, 17:20

Noctunsin

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Zitat:

Original von conlegens
In deinem vorletzten Beitrag hast du hoch MINUS 3 im Nenner stehen. Das ist falsch:Es muss lauten:

$\begin{eqnarray*} 2x/(x^2-4)^3 \end{eqnarray*}$

Achso ja. Wenn man das vollständig ausschreibt müsste es so lauten, oder?
$\begin{eqnarray*} 2x(x^{2}-4)^{1-4}=2x(x^{2}-4)^{-3} = 2x*\frac{1}{(x^{2}-4)^{3}}=\frac{2x}{(x^{2}-4)^{3}} \end{eqnarray*}$

30.12.2012, 17:25

Noctunsin

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Zitat:

Original von conlegens
Warum nochmal so kompliziert?
Nach dem richtigen Kürzen (siehe Professor) musst du nur noch ausmultiplizieren und zusammenfassen. Gehe nochmal an diese Stelle zurück.

Ich verstehe den Rechenschritt meines Professors nicht und habe mich an seiner Lösung orientiert. So kompliziert habe ich es geschrieben, damit Du meine Aktionen nachverfolgen kannst und somit beurteilen kannst ob ich es korrekt gemacht habe. Wäre meine Ausführung richtig, dann würde ich den Rechenschritt meines Professors verstehen und anschliessend wie gehwohnt ausmultiplizieren und vereinfachen. smile

smile

Ich bin mir eben nicht sicher was genau er gemacht hat. Ob er die Potenzgesetze angewand hat, oder ob er gekürzt hat. Für mich kommen bei beiden Wegen die gleichen Ergebnisse raus.

Oder kann man zum Anwenden der Potenzgesetze auch als eine Art kürzen verstehen? Für mich bedeutet einen Bruch kürzen, dass man sowohl Zähler als auch Nenner dieses Bruches mit der gleichen Zahl dividiert. Und das ist was Anderes, als die Anwendung der Potenzgesetze...zumindest meiner Ansicht nach :X

30.12.2012, 17:37

conlegens

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Gehe nochmal an die Stelle "Meine Ideen"/ Anschließend fasse ich... zurück und setze beim 1. Produkt im Zähler

statt $\begin{eqnarray*} (x^2-4)^2 \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} (x^2-4) \end{eqnarray*}$

30.12.2012, 17:43

Noctunsin

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An der Stelle war ich der Ansicht, dass der Nenner nur ein einziges Mal mit $\begin{eqnarray*} (x^{2}-4) \end{eqnarray*}$ gekürzt werden darf, weil man nur einen einzigen Zähler hat. Diesen Gedanken habe ich in der komplexen Ausführung überworfen und bin zu dem Ergebnis gekommen, welches mein Professor ebenfalls hat.

30.12.2012, 17:51

conlegens

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Der Zähler besteht aus einer Differenz. Du musst also bei Minuend und Subtrahend
mit $\begin{eqnarray*} (x^2-4) \end{eqnarray*}$ kürzen.
Beide Produkte müssen also durch $\begin{eqnarray*} (x^2-4) \end{eqnarray*}$ dividiert werden wie der Nenner auch.

30.12.2012, 19:46

sulo

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Obwohl er hier schon Hilfe erhielt, postete der Fragesteller seine Anfrage auch dort: http://www.onlinemathe.de/forum/Zweite-A...en-vereinfachen

unglücklich

unglücklich

30.12.2012, 20:18

Noctunsin

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Vielen Dank, conlegens. Ohne Deine Hinweise wäre ich vermutlich nie selbst auf die richtige Lösung gekommen. Big Laugh

Big Laugh

Richtig, ich habe sicherheitshalber gerne mehrere Quellen aber es macht mir nichts aus, dass das nachverfolgbar ist. Petze ;P Und für den Fall, dass Du mir in dem anderem Forum geholfen hast: Danke. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.12.2012, 20:20

sulo

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Solches Crossposting ist unerwünscht, nicht nur hier, sondern überall.

Wenn ich es früher entdeckt hätte, hätte ich den Thread geschlossen. Im Extremfall bleibt ein Crossposter ohne Hilfe, wenn in dem/den anderen Board/s ebenfalls geschlossen wird - habe ich erst kürzlich erlebt.

31.12.2012, 15:46

Noctunsin

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Okay, ich werde das dann nun unterlassen. Sorry.

Bei der Betrachtung der Funktionswerte an den Stellen der Extrema habe ich eine kleine Verständnisfrage.

Um die Extremstellen zu berechnen muss ich die errechneten Extrema in die Ausgangsfunktion f(x) einseten.
Bei dieser Aufgabe erhalte ich $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ -------> $\begin{eqnarray*} x2,3=\pm2\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Dies muss nun in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^{3} }{x^{2} -4}=\frac{(2\sqrt{3})^{3} }{(2\sqrt{3})^{2} -4} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand sagen, aus welchem Grund mein Professor folgendermaßen gehandelt hat?
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^{3} }{x^{2} -4}=\frac{(2\sqrt{3})^{3} }{(2\sqrt{3})^{2} -1} \end{eqnarray*}$

Statt die Funktion so zu nehmen, wie sie ist, hat er im Nenner die -4 durch -1 getauscht. geschockt

geschockt

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