Folge mit gegebenem Grenzwert, N(Epsilon) bestimmen

30.12.2012, 16:18

Wemsor

Folge mit gegebenem Grenzwert, N(Epsilon) bestimmen

Meine Frage:
Hallo liebes Matheboard,
ich habe eine Frage bezüglich Folgen.
Die Aufgabe lautet:
Es sei die Folge b_{n} = \frac{5n}{n^4+n^2+7} gegeben.

Man soll nun für jedes \epsilon > 0 ein n_{0}(\epsilon)\in \mathbb R finden, sodass \forall n n\geq n_{0}(\epsilon) gilt |b_{n}|< \epsilon

Meine Ideen:
Ich weiß dass der Grenzwert Null ist, da |b_{n}|< \epsilon gilt und bei |b_{n} - b|< \epsilon der Grenzwert b ist, hier also 0.
Und ich verstehe die Aufgabe auch. Man soll das n_{0} bestimmen, für dass gilt, dass alle folgenden Folgeglieder in der Epsilonumgebung um 0 liegen und das aber in Abhängigkeit von \epsilon.

Das ist genau dass was mir Probleme bereitet, denn ich weiß nicht, wie man dass in Abhängigkeit von \epsilon angeben kann.

Ich hoffe jemand von euch kann mir helfen.

30.12.2012, 16:28

wemsor

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Sorry, sollte so sein.

Meine Frage:
Hallo liebes Matheboard,
ich habe eine Frage bezüglich Folgen.
Die Aufgabe lautet:
Es sei die Folge $\begin{eqnarray*} b_{n} = \frac{5n}{n^4+n^2+7} \end{eqnarray*}$ gegeben.

Man soll nun für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_{0}(\epsilon)\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} \forall n \geq n_{0}(\epsilon) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |b_{n}|< \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich weiß dass der Grenzwert Null ist, da $\begin{eqnarray*} |b_{n}|< \epsilon \end{eqnarray*}$ gilt und bei $\begin{eqnarray*} |b_{n} - b|< \epsilon \end{eqnarray*}$ der Grenzwert b ist, hier also 0.
Und ich verstehe die Aufgabe auch. Man soll das $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ bestimmen, für dass gilt, dass alle folgenden Folgeglieder in der Epsilonumgebung um 0 liegen und das aber in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Das ist genau dass was mir Probleme bereitet, denn ich weiß nicht, wie man dass in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ angeben kann.

Ich hoffe jemand von euch kann mir helfen.

30.12.2012, 16:45

Bakatan

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Nehmen wir an ich wähle Epsilon als 0.00001. Dann muss deine Formel mir eine natürliche Zahl liefern, sodass für alle größeren natürlichen Zahlen die Folgeglieder kleiner als Epsilon sind. Dabei darf ich Epsilon frei (positiv) wählen und deine Formel muss immer funktionieren.

Bitte beachte dabei, dass es nicht "das" $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ist, sondern irgendeines, was funktioniert. Das minimale zu finden erweist sich meistens als eher kompliziert und wird in solchen Aufgaben da unnötig fast nie gefordert.

Bei sowas lohnt es sich, zuerst einmal sehr großzügig abzuschätzen:
$\begin{eqnarray*} \frac{5n}{n^4+n²+7}\leq\frac{5n}{n²} \end{eqnarray*}$
(bitte überlegen, wieso das so einfach geht, es ist nicht schwer, aber wenn man soetwas übersieht werden manche Aufgaben extrem erschwert)
Damit kann man dann weiterrechnen und eine Anleitung basteln die für jedes Epsilon eine natürliche Zahl liefert, dass für alle größeren natürlichen Zahlen die Rechte Seite kleiner als Epsilon ist, dann ist es die Linke erst recht.

Zitat:

Ich weiß dass der Grenzwert Null ist, da $\begin{eqnarray*} |b_{n}|< \epsilon \end{eqnarray*}$ gilt

Du meinst vmtl das richtige, so aber bitte nicht schreiben. Einfaches Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \epsilon:=\frac{1}{10},~b_1=\frac{5}{9}>\epsilon \end{eqnarray*}$

edit: habe mal n^2 beibehalten statt n^4, macht die Sache beim weiterrechnen vmtl einfacher.

30.12.2012, 23:30

wemsor

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OK, Danke für die Antwort.

Ich versteh warum $\begin{eqnarray*} \frac{5n}{n^4+n^2+7} < \frac{5n}{n^2} \end{eqnarray*}$

, da ja n^4+n^2+7 für jedes n eine größere Zahl liefert als n^2 und da die Zahler gleich sind, wird der bruch beim linken Term immer kleiner sein als der rechte.

OK, aber dann kann ich doch auch sagen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{5n}{n^4+n^2+7} < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt will ich, wie du gesagt hast, zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} < \epsilon \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{\epsilon} < n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} n > \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

Ist das schon ausreichend zu sagen n muss größer als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ sein?

31.12.2012, 00:17

Bakatan

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Man könnte noch eine kurze Begründung schreiben, da man ebenfalls im Zähler etwas weglässt, wieso das geht, aber generell ja (oder es einfach als offensichtlich annehmen, ob man das kann kommt auf den jeweiligen Kurs an).

Dieses $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ist natürlich viel größer als eigentlich notwendig, aber das ist kein Problem.

PS: Wenn explizit die Angabe eines Wertes gefordert ist, kann man dies noch tun, z.B. mit $\begin{eqnarray*} n_0=\left\lceil\frac{1}{\epsilon}\right\rceil \end{eqnarray*}$
edit: oh ich sehe gerade $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ darf sogar reell sein, dann braucht man nicht einmal Gaußklammern.

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