Wahrscheinlichkeit, dass Münze passt oder was bedeutet Phi

30.12.2012, 16:19

bringelschlächter

Wahrscheinlichkeit, dass Münze passt oder was bedeutet Phi

Hallo Leute,

ich hoffe ihr könnt ihr mir bei einer Aufgabe helfen.

Zitat:

Für Ausstellungsbesucher sind Garderobeschränke vorgesehen. Um den Schlüssel abziehen zu können muss man ein Zwei-Euro-Stück in den vorgesehen Schlitz werfen. Diese Einrichtung verursacht Ärger bei Besuchern die nicht darauf vorbereitet waren. Die Museumsleitung hat sich deshalb entschlossen, statt des 2-Euro Stücks jedem Besucher eine Metallscheibe, die vom Automaten akzeptiert wird, zur Verfügung zu stellen. Dazu bestellt sie bei einem Anbieter 5000 Stück diese Scheiben. Produktionsbedingt weicht die Masse einer Metallscheibe mitunter etwas von der Sollmasse ab.

Der Hersteller gibt die Masse mit $\begin{eqnarray*} \mu =3,06g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=0,08 \end{eqnarray*}$ an. Der Türautomat funktioniert nur dann störungsfrei, wenn die Abweichung vom Erwartungswert(also der Masse einer 2-Euro-Münze von 3,06g) kleiner als 0,2g ist.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher mit einer solchen Metallscheibe die Schranktür nicht schließen kann?

Ich hab nicht mal einen Ansatz und die vorgegbene Lösung hilft genau so wenig:

$\begin{eqnarray*} P(|X-\mu|>0,2)=2 \cdot \Phi (\frac{2,86-3,06}{0,08})=0,012 \end{eqnarray*}$

Was heißt denn das $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ überhaupt?
Wäre nett, wenn ihr mit helfen könnt.

LG

31.12.2012, 06:51

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

$\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ist hier das Symbol für die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
$\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass hier eine normalverteilte Zufallsvariable Z höchstens den Wert z annimmt.

Man kann auch schreiben: $\begin{eqnarray*} P(Z \leq z)=\Phi(z) \end{eqnarray*}$

Jetzt ist es bei dir so, dass im Mittel die Metallscheibe 3,06 g ( $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ) wiegt. Insgesamt ist die Verteilung des Gewichts der Metallscheibe normalverteilt. Damit die Wahrscheinlichkeit für eine konkreten Stichprobenwert durch die Tabelle der Standardnormalverteilung ermittelt werden kann, normiert man die Zufallsvariable Z.

$\begin{eqnarray*} Z=\frac{x-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich $\begin{eqnarray*} P(Z \leq z)=\Phi\bigg( \frac{x-\mu}{\sigma} \bigg) \end{eqnarray*}$

Da die (Standard)Normalverteilung symmetrisch ist gilt:

$\begin{eqnarray*} P(Z \leq z)=P(-z \leq Z) \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} P(-z \leq Z \leq z)=2 \cdot \Phi \bigg(\frac{x-\mu}{\sigma}\bigg) \end{eqnarray*}$

Bei dir ist $\begin{eqnarray*} \Phi \bigg(\frac{x-\mu}{\sigma}\bigg)=\Phi (\frac{2,86-3,06}{0,08})=\Phi \bigg( \frac{0,2}{0,08} \bigg) = \Phi(2,5) \end{eqnarray*}$

Das gilt aber nur für die Abweichung nach unten. Bezieht man die betragsmäßig gleiche Abweichung nach oben auch noch mit ein ist:

$\begin{eqnarray*} P(-z \leq Z \leq z)=\Phi(z)-\Phi(-z)=\Phi(z)-(1-\Phi(z))=2 \cdot \Phi(z)-1=2\cdot \Phi(2,5)-1 \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2,5 kannst du in der Tabelle nachlesen.

Wenn man dies ausrechnet, bekommt man die Wahrscheinlichkeit, dass die Besucher die mit einer solchen Metallscheibe die Schranktür schließen kann.
Die Gegenwahrscheinlichkeit, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher mit einer solchen Metallscheibe die Schranktür nicht schließen kann.
Sie ist $\begin{eqnarray*} 1-(2\cdot \Phi(2,5)-1)=2-2\cdot \Phi(2,5) \end{eqnarray*}$ Das ist auch der Ausdruck, der meiner Meinung nach im Mittelteil deiner Lösung stehen sollte. Das Ergebnis ist aber bei mir das gleiche.

Mit freundlichen Grüßen.

01.01.2013, 20:05

bringelschlächter

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die wirklich ausführliche und gute Antwort Freude

Noch eine kleine Frage, gibt es für den TI84-Plus eine Möglichkeit $\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ direkt auszugeben, anstatt das Gauß'sche Fehlerintegral ( $\begin{eqnarray*} \Phi(z) = \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_0^z e^{-\frac 12 t^2} \mathrm dt + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ) einzugeben

01.01.2013, 20:19

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

freut mich, dass du die Antwort nachvollziehen konntest. smile

Zu Taschenrechner kann ich nichts sagen. Mach dafür am Besten ein neues Thema auf. Dann wird sich schon jemand finden, der Ahnung davon hat.

Grüße und frohes neues Jahr. Wink

Neue Frage »

Antworten »

Wahrscheinlichkeit, dass Münze passt oder was bedeutet Phi

Verwandte Themen