Infimum beweisen

30.12.2012, 18:07

Mathelover

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Infimum beweisen

Hallo Leute,

es geht um folgende Aufgabe:

Wir haben die Menge M = { 1/(1+n^2) | n € Z }

Ich behaupte, dass das Infimum von M = 0 ist.

Beweis durch Widerspruch:
Sei 0 kein Inf von M. D.h. Es gibt eine größere untere Schranke als 0. So muss ein d existieren mit d > 0 und d € R, wobei gilt:

(1) :0 + d < 1/(1+n^2)

(1) ist äquivalent zu (2) : 1+n^2 < 1/d

Jetzt muss ich nur ein einziges n finden, wo die Ungleichung (2) nicht gilt.
Sei n = 1.

2 < 1/d
es folgt ein Widerspruch. Also ist 0 das Infimum von M.

Gilt dieser Beweis?

Vielen Dank im voraus.

30.12.2012, 18:35

Johannes91

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RE: Infimum beweisen
Hallo,

nein das gilt so nicht, denn $\begin{eqnarray*} 2<\frac{1}{d} \end{eqnarray*}$ ist kein Wiederspruch da $\begin{eqnarray*} d\in \mathbb R _{>0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2<\frac{1}{d} \end{eqnarray*}$ nur bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} d<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Aber du kannst trotzdem $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ finden so, dass deine Gleichung (2) nicht gilt, welches halt aber von d abhängig sein wird.

01.01.2013, 16:49

Mathelover

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RE: Infimum beweisen

Zitat:

Original von Johannes91
Hallo,

nein das gilt so nicht, denn $\begin{eqnarray*} 2<\frac{1}{d} \end{eqnarray*}$ ist kein Wiederspruch da $\begin{eqnarray*} d\in \mathbb R _{>0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2<\frac{1}{d} \end{eqnarray*}$ nur bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} d<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Aber du kannst trotzdem $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ finden so, dass deine Gleichung (2) nicht gilt, welches halt aber von d abhängig sein wird.

Wie muss ich denn n wählen? Wenn n sehr klein ist, bekomme ich für d eine Zahl größer 0 raus (also kein Widerspruch), wenn n sehr groß ist, bekomme ich für d auch eine Zahl größer 0 raus (also wieder kein Widerspruch)?

03.01.2013, 15:15

Mathelover

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RE: Infimum beweisen
Keiner eine Idee?

03.01.2013, 15:38

Mystic

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RE: Infimum beweisen

Zitat:

Original von Mathelover
Sei 0 kein Inf von M. D.h. Es gibt eine größere untere Schranke als 0. So muss ein d existieren mit d > 0 und d € R, wobei gilt:

(1) :0 + d < 1/(1+n^2)

(1) ist äquivalent zu (2) : 1+n^2 < 1/d

Das ist natürlich falsch, denn die Bedingung (1) lautet tatsächlich

(1) d>1/(1+n²)

03.01.2013, 16:01

Mathelover

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RE: Infimum beweisen
Wieso ist denn die (1) falsch. Es handelt sich doch hierbei um das Infimum. Also um die untere Schranke. Die Funktion befindet sich ja zwischen unterer und oberer Schranke, also stimmt doch dass die untere Schranke kleiner ist als die Funktion, oder?

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03.01.2013, 16:20

Mystic

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RE: Infimum beweisen
Nein, du hast auch die Quantoren volkommen falsch gesetzt, was auf ein riesiges Verständnisproblem hindeutet... unglücklich

unglücklich

Tatsächlich ist 0 nur dann ein Infimum für deine Menge M, wenn jedes d>0 (nicht irgendein d>0) keine untere Schranke von M ist, d.h., es dann immer eine natürliche Zahl n gibt, sodass

d>1/(1+n²)

gilt... Versuch darüber mal 5 min (oder auch länger) zu "meditieren", bis schließlich die "Einsicht" kommt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.01.2013, 16:38

Mathelover

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RE: Infimum beweisen
Wir möchten doch zeigen, dass es keine größere untere Schranke als 0 geben kann. Mit anderen Worten: 0 ist das Infimum der Menge M. Sei dazu 0 < d < 1. Wir müssen 0 + d < 1/ (1+n²) zum Widerspruch führen.

Was ist denn an diesem Ansatz falsch?

03.01.2013, 17:03

Mystic

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RE: Infimum beweisen

Zitat:

Original von Mathelover
Wir müssen 0 + d < 1/ (1+n²) zum Widerspruch führen.

Was ist denn an diesem Ansatz falsch?

Falsch ist daran dein schon gewohnheitsmäßiges Weglassen von Quantoren, denn richtig muss es heißen:

Wir müssen zeigen, dass die Aussage

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N: d < 1/ (1+n²) \end{eqnarray*}$

falsch ist bzw. das Gegenteil davon richtig ist.. Das Gegenteil ist aber gerade das, was ich oben geschrieben habe...

03.01.2013, 21:39

Mathelover

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RE: Infimum beweisen
Okay, also das mit den Quantoren werde ich in Zukunft beachten.

Das heißt also: Wir müssen entweder zeigen, dass die Aussage

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N: d < \frac{1}{1+n²} \end{eqnarray*}$

für irgendein n nicht gilt. D.h. wir müssen nur ein n finden damit die Ungleichung oben falsch ist.

Oder wir müssen zeigen, dass die Aussage:

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N: d > \frac{1}{1+n²} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

richtig ist.

Hab ich das jetzt richtig verstanden Mystic smile

smile

?

03.01.2013, 21:59

Mystic

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RE: Infimum beweisen
Für den Nachweis von inf M= 0 muss man für ein beliebiges d>0 (aus logischer Sicht heißt dies, für alle d >0) entweder zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \neg \left(\forall n \in \mathbb N : d\le \frac1{1+n^2}\right) \end{eqnarray*}$ *)

d.h., d ist nicht untere Schranke von M, oder - äquivalent dazu und vereinfacht - dass

$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb N : d>\frac1{1+n^2} \end{eqnarray*}$ **)

Während du *) oben (bis auf das $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ ) richtig formuliert hast, ist dir **) leider wegen der falschen Wahl des Quantors wieder mißlungen... unglücklich

unglücklich

04.01.2013, 00:02

Mathelover

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RE: Infimum beweisen

Zitat:

Original von Mystic
Für den Nachweis von inf M= 0 muss man für ein beliebiges d>0 (aus logischer Sicht heißt dies, für alle d >0) entweder zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \neg \left(\forall n \in \mathbb N : d\le \frac1{1+n^2}\right) \end{eqnarray*}$ *)

d.h., d ist nicht untere Schranke von M, oder - äquivalent dazu und vereinfacht - dass

$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb N : d>\frac1{1+n^2} \end{eqnarray*}$ **)

Während du *) oben (bis auf das $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ ) richtig formuliert hast, ist dir **) leider wegen der falschen Wahl des Quantors wieder mißlungen... unglücklich

unglücklich

Ahh okay jetzt macht das mit den Quantoren Sinn.

Für **) können wir dann zum Beispiel für n = 0 wählen. Dann gilt dass $\begin{eqnarray*} d > 1 \end{eqnarray*}$

Aber das stimmt nicht der Definitionsmenge von d überein. Da 0 < d < 1 sein muss. Also Widerspruch.
Somit ist inf M = 0.

Stimmts?

04.01.2013, 07:59

Mystic

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RE: Infimum beweisen

Zitat:

Original von Mathelover
Für **) können wir dann zum Beispiel für n = 0 wählen. Dann gilt dass $\begin{eqnarray*} d > 1 \end{eqnarray*}$

Aber das stimmt nicht der Definitionsmenge von d überein. Da 0 < d < 1 sein muss. Also Widerspruch.
Somit ist inf M = 0.

Stimmts?

Leider nein... unglücklich

unglücklich

Mit den Quantoren stehst du ganz allgemein "auf Kriegsfuß", wenigstens dieses Problem haben wir hier lokalisiert... n ist eben hier nicht frei wählbar (das würde einem Allquantor entsprechen!), sondern muss zu dem vorgegebenen d>0 erst gefunden werden... Das ist aber sehr leicht möglich, denn es gilt ja offensichtlich

$\begin{eqnarray*} d>\frac1{1+n^2} \Leftrightarrow \frac1d-1 < n^2 \end{eqnarray*}$

Man muss also n in Hinblick auf obige Ungleichung "nur groß genug" wählen und hat damit bereits ein passendes n gefunden...

04.01.2013, 12:19

Leopold

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Beim Widerspruchsbeweis verhält man sich wie ein trotziges Kind, das nicht glauben will, daß $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ die größte untere Schranke ist.

Es sagt: "Nein, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist doch auch eine untere Schranke."
Wir sagen: "Dann dürfte es kein Element unter $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ geben. Gibst du das zu?"
Kind: "Ja."
Wir: "Jetzt nimm einmal $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ . Dann bekommst du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+2^2} = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ als Element. Das ist doch kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , nicht wahr?"
Kind: "Ja, das ist kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ."
Wir: "Dann kann doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ keine untere Schranke sein."
Kind: "O.k., das leuchtet mir ein. Aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{100} \end{eqnarray*}$ ist untere Schranke."
Wir: "Für $\begin{eqnarray*} n=10 \end{eqnarray*}$ hätten wir doch das Element $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 + 10^2} = \frac{1}{101} \end{eqnarray*}$ . Und das ist kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{100} \end{eqnarray*}$ . Dann kann auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{100} \end{eqnarray*}$ keine untere Schranke sein."

Und bei jeder positiven reellen Zahl, die uns als untere Schranke angeboten wird, geben wir eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} \color{red} n \end{eqnarray*}$ an, so daß das zugehörige Element unterhalb der Schranke liegt.

Und so kommt man zu Mystics logischer Formel:

$\begin{eqnarray*} \color{blue} \forall \, d>0 \ \ \color{red} \exists \, n \color{black}: \ \frac{1}{1+n^2} < d \end{eqnarray*}$

Und während ich das abschicke, versuche ich mir gerade ein Kind vorzustellen, das statt seiner Spielsachen untere Schranken sucht. Muß wohl ein sehr angestrengtes und altkluges Kind sein ...

04.01.2013, 21:21

Mathelover

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Zunächst einmal vielen Dank für Eure Hilfe!

Ich verstehe zwar wie man auf die Formel kommt:
$\begin{eqnarray*} \color{blue} \forall \, d>0 \ \ \color{red} \exists \, n \color{black}: \ \frac{1}{1+n^2} < d \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist aber, wie beweise ich jetzt formalisch korrekt, dass diese Ungleichung stimmt.

05.01.2013, 08:09

Mystic

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RE: Infimum beweisen

Zitat:

Original von Mathelover
Mein Problem ist aber, wie beweise ich jetzt formalisch korrekt, dass diese Ungleichung stimmt.

Diese Frage beweist, dass du eben doch nicht alles verstanden bzw. auch einfach nicht alles gelesen hast... Denn genau auf diesen Punkt bin ich oben schon eingegangen... Ich zitiere das einfach nochmals, um dir die Suche zu erleichtern:

Zitat:

Original von Mystic
n ist eben hier nicht frei wählbar (das würde einem Allquantor entsprechen!), sondern muss zu dem vorgegebenen d>0 erst gefunden werden... Das ist aber sehr leicht möglich, denn es gilt ja offensichtlich

$\begin{eqnarray*} d>\frac1{1+n^2} \Leftrightarrow \frac1d-1 < n^2 \end{eqnarray*}$

Man muss also n in Hinblick auf obige Ungleichung "nur groß genug" wählen und hat damit bereits ein passendes n gefunden...

Wenn du also z.B. n so wählst, dass

$\begin{eqnarray*} n\ge \frac1{\sqrt d} \end{eqnarray*}$

gilt, sollte das jedenfalls reichen... Wo "klemmt" es da in deiner Vorstellung oder wolltest du einfach nur auch diesen Punkt auf dem Silbertablett präsentiert haben? verwirrt

verwirrt

Wenn Letzteres zutrifft, dann ist dir das jedenfalls gelungen... Big Laugh

Big Laugh

Edit: Und ja, Leopold's kleine Geschichte ist ganz großartig... So muss man sich das vorstellen und in seinem Gedächtnis festtackern... Freude

Freude

05.01.2013, 23:47

Mathelover

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Also zunächst einmal sollte ich dazu sagen, dass das nicht irgendwie eine Aufgabe ist die ich machen muss, ich wollte das für mich als Übung machen, aber anscheinend will mir das nicht reingehen.

Du sagst ja, dass ich ein n finden muss bzw. so wählen muss sodass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} n\ge \frac1{\sqrt d} \end{eqnarray*}$

1. Problem: Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \frac1{\sqrt d} \end{eqnarray*}$ ?

-> Ich komm nämlich auf $\begin{eqnarray*} n\ge \sqrt \frac{ 1-d } {d} \end{eqnarray*}$

2. Problem: Ich dachte ich darf n nicht frei wählen ( => kein Allquantor), aber jetzt soll ich doch ein n wählen und zwar ein großes.

3. Problem: Wenn ich ein großes n gefunden habe, heißt dass dann, dass ich fertig bin mit dem Beweis? (Da wir vom Widerspruchsbeweis ausgehen? )

Wenn du nicht mehr antworten möchtest, akzeptier ich das Big Laugh

Big Laugh

Trotzdem vielen, vielen Dank.

06.01.2013, 00:57

Mystic

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Zitat:

Original von Mathelover
1. Problem: Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \frac1{\sqrt d} \end{eqnarray*}$ ?

-> Ich komm nämlich auf $\begin{eqnarray*} n\ge \sqrt \frac{ 1-d } {d} \end{eqnarray*}$

Meine Bedingung ist etwas strenger, dafür aber viel einfacher und funktioniert vor allem für alle d>0, während du für d>1 ein kleines Problem hast, da der Radikand dann negativ wird...

Zitat:

Original von Mathelover
2. Problem: Ich dachte ich darf n nicht frei wählen ( => kein Allquantor), aber jetzt soll ich doch ein n wählen und zwar ein großes.

Ja, n ist nach wie vor nicht frei wählbar, es muss ja eine gewisse Mindestgröße haben, wie wir gerade gesehen haben (schon vergessen?)...

Zitat:

Original von Mathelover
3. Problem: Wenn ich ein großes n gefunden habe, heißt dass dann, dass ich fertig bin mit dem Beweis? (Da wir vom Widerspruchsbeweis ausgehen? )

Ja, denn wir haben ja - um auf Leopold's Dialog mit dem Kinde zurückzukommen - eine allgemeine Formel gefunden, sodass wir für jedes d>0, welches vorgeschlagen wird, und sei es auch noch so klein, sofort widerlegen können, dass es als untere Schranke in Frage kommt, indem wir immer (und zwar automatisiert, d.h., mit Hilfe einer Formel!) ein n angeben können, für welches $\begin{eqnarray*} a_n<d \end{eqnarray*}$ ist (s.o.)...

08.01.2013, 10:40

Mathelover

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Kannst du mir bitte erklären wie du auf $\begin{eqnarray*} n\ge \frac{ 1} {\sqrt d} \end{eqnarray*}$ kommst?

08.01.2013, 11:00

Mystic

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Zitat:

Original von Mathelover
Kannst du mir bitte erklären wie du auf $\begin{eqnarray*} n\ge \frac{ 1} {\sqrt d} \end{eqnarray*}$ kommst?

Naja, gehen wir mal von "deiner" Bedingung

$\begin{eqnarray*} n > \sqrt \frac{ 1-d } d \end{eqnarray*}$

aus, deren Herleitung dir, nachdem was du schreibst, ja klar zu sein scheint (ich habe dabei nur das falsche $\begin{eqnarray*} \ge \end{eqnarray*}$ zu > korrigiert)... Tatsächlich ist sie für $\begin{eqnarray*} d \le 1 \end{eqnarray*}$ auch in Ordnung, nur funktioniert es eben auch mit meiner "stärkeren" Bedingung, denn es gilt ja

$\begin{eqnarray*} n \ge \sqrt \frac 1d >\sqrt{\frac 1d -1} \end{eqnarray*}$

d.h., wenn "meine" Bedingung erfüllt ist, dann auch automatisch auch "deine"... Für d>1 hättest du aber ein ernstes Problem, da der Radikand 1/d-1 dann negativ ist, während mit meiner Bedingung einfach n>0 herauskommt, m.a.W. jeder Wert für n außer 0 ist dann "passend"...

09.01.2013, 02:46

Mathelover

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Vielen Dank du schätzt also sozusagen ab.

09.01.2013, 10:14

Mystic

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Zitat:

Original von Mathelover
Vielen Dank du schätzt also sozusagen ab.

Ja, allerdings war ja auch bereits dein Vorschlag

$\begin{eqnarray*} n > \sqrt \frac{ 1-d } d \end{eqnarray*}$

eine "Abschätzung", welche aber, wie gesagt, für d>1 wegen dem negativen Radikanden nicht "funktioniert"... Daher meine "Reparatur", welche aber nur eine von möglichen ist... Man hätte z.B. auch

$\begin{eqnarray*} n > \sqrt {\max \left(\frac{ 1-d } d,0 \right)} \end{eqnarray*}$

nehmen können, aber ich finde meinen Vorschlag um einiges einfacher und genauso zielführend...

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