Monoide - Seite 2

11.02.2013, 13:33

Math1986

RE: Monoide

Dazu hat zweundvierzig schon was geschrieben:

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Die Aussage (ii) liefert dir wörtlich die Injektivität einer solchen Abbildung. Wie Mystic gemeint hat, gilt nun allgemein, wenn $\begin{eqnarray*} f \colon X \to Y \end{eqnarray*}$ eine injektive Abbildunge zwischen endlichen gleichmächtigen Mengen ist, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch surjektiv. Denn alle $\begin{eqnarray*} |X| \end{eqnarray*}$ Elemente aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ werden unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf jeweils unterschiedliche Elemente in $\begin{eqnarray*} {\color{red}Y} \end{eqnarray*}$ abgebildet. Wegen $\begin{eqnarray*} |X| = |Y| \end{eqnarray*}$ hat also jedes Element aus $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ein Urbild unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Edit: Siehe Korrektur in rot.

11.02.2013, 13:36

Monoid

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RE: Monoide
Was hat das denn mit dem Inversen zu tun?

11.02.2013, 13:43

Math1986

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RE: Monoide
Nun, die Abbildung $\begin{eqnarray*} f_a\colon x\mapsto a\cdot x \end{eqnarray*}$ ist (für endliche Monoide) bijektiv. D.h. es existiert eine Umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} f_b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b\cdot a\cdot x = x \end{eqnarray*}$ .

11.02.2013, 13:46

Monoid

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RE: Monoide
Wie kommst du denn jetzt auf diese Implikation? verwirrt

11.02.2013, 13:48

Math1986

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RE: Monoide

Zitat:

Original von Monoid
Wie kommst du denn jetzt auf diese Implikation? verwirrt

Auf welche?
Bijektive Funktionen haben grundsätzlich eine Umkehrabbildung.

11.02.2013, 13:50

Monoid

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RE: Monoide
Die Implikation von ... ( vor D.h. ) und ... ( nach D.h. ).

11.02.2013, 13:52

Math1986

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RE: Monoide

Zitat:

Original von Monoid
Die Implikation von ... ( vor D.h. ) und ... ( nach D.h. ).

Nochmal: Bijektive Funktionen haben grundsätzlich eine Umkehrabbildung.

$\begin{eqnarray*} f_a\colon x\mapsto a\cdot x \end{eqnarray*}$ ist bijektiv, also existiert eine Umkehrabbildung.

11.02.2013, 13:54

Monoid

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RE: Monoide
Die Umkehrabbildung:

$\begin{eqnarray*} f_b \colon f_b (x)=\frac{x}{a} \end{eqnarray*}$

Edit: was ist bei dir b?

11.02.2013, 13:58

Math1986

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RE: Monoide
b ist das inverse Element von a, wie aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} b\cdot a\cdot x = x \end{eqnarray*}$ klar wird.

11.02.2013, 14:01

Monoid

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RE: Monoide
Ja, aber woher kommt die Gleichung?

11.02.2013, 16:09

Math1986

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RE: Monoide

Zitat:

Original von Monoid
Ja, aber woher kommt die Gleichung?

Durch Einsetzen von x in $\begin{eqnarray*} f_b\left(f_a\left(x\right)\right)=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_b \end{eqnarray*}$ ist nach Konstruktion die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ , also ist die Verknüpfung die identität.

11.02.2013, 21:15

Mystic

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RE: Monoide
Ich sehe jetzt auf den ersten Blick auch nicht ohne Umwege, warum die Umkehrabbildung zu $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ wieder eine Linksmultiplikation sein soll. Wohl aber hat $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ als Permutation auf einer endlichen Menge auf jeden Fall eine endliche Ordnung, d.h.,

$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb{N}^*: f_a^n=id \end{eqnarray*}$

Das heißt aber nichts anderes als dass $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ ein Linkseinselement und $\begin{eqnarray*} a^{n-1} \end{eqnarray*}$ ein Linksinverses zu a ist...

12.02.2013, 06:59

Monoid

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RE: Monoide
Hi Mystic! Wink

Wie kommst du denn nun auf die endliche Ordnung? verwirrt

Wir wissen bisher, dass $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ bijektiv ist. Und weil $\begin{eqnarray*} f_a \colon G \to G \end{eqnarray*}$ surjektiv ist, folgt die Aussage, nicht? Denn $\begin{eqnarray*} e \in G \end{eqnarray*}$ , sprich $\begin{eqnarray*} \forall a \in G \colon \exists x \in G \colon a x=e \Leftrightarrow \forall x \in G \colon \exists a \in G \colon a x=e \end{eqnarray*}$ .

Aber wie du auf deine Aussage über die Ordnung kommst, ist mir immernoch unklar...

12.02.2013, 10:01

Mystic

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RE: Monoide
Naja, es gilt ja $\begin{eqnarray*} f_a \in S_{|G|} \end{eqnarray*}$ , d.h., $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ ist Element einer endlichen Gruppe, da ja auch |G| nach Voraussetzung endlich ist, und hat damit automatisch auch eine endliche Ordnung...

12.02.2013, 10:04

Monoid

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RE: Monoide
Hat jedes Element einer endlichen Gruppe eine endliche Ordnung? Und wenn ja, weshalb?

12.02.2013, 10:16

Mystic

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RE: Monoide
Wenn G eine endliche Gruppe ist und $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ , dann müssen sich die Potenzen von a mit positiver Hochzahl, also

$\begin{eqnarray*} a,a^2,a^3 \end{eqnarray*}$ ,... usw.

wegen der Endlichkeit von G irgendwann wiederholen, d.h., es gibt positive ganze Zahlen i und j mit i> j, sodass

$\begin{eqnarray*} a^i=a^j \end{eqnarray*}$

Daraus folgt aber, indem du j mal mit $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ multiplizierst sofort

$\begin{eqnarray*} a^{i-j}=e \end{eqnarray*}$

wenn e das Einselement der Gruppe ist...

P.S.: Fragen wie diese zeigen sehr deutlich, dass es dir an den "basics" fehlt... Vielleicht solltest du doch vorher diese Defizite ausräumen, bevor du dich komplizierteren Fragestellungen zuwendest...

12.02.2013, 10:23

Monoid

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RE: Monoide
Naja, an den Basics sollte es nicht fehlen, denn das was du im Beweis für diese Aufgabe verwendest, ist nicht nötig.

Denn das was du verwendest, kommt erst in späteren Kapiteln des Kapitels des Buches in dem ich Arbeite. Und zu jede Unterkapitel gibt es Aufgaben. Und die Sachen, die du benutzt etc. wurden noch gar nicht eingeführt. geschockt

Und warum müssen sie sich wiederholen, also die Potenzen?

12.02.2013, 11:32

Mystic

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RE: Monoide

Zitat:

Original von Monoid
Und warum müssen sie sich wiederholen, also die Potenzen?

Das ist wieder eine deiner Fragen, wo ich jetzt nur den Kopf schütteln kann... Erstaunt2

Und zwar jetzt ausdrücklich nicht darüber, dass dir mit 11 Jahren, wenn diese Altersangabe stimmt, das nicht klar ist, sondern dass du dich andererseits an anderer Stelle mit Fragestellungen beschäftigst, die turmhoch darüber liegen, wie z.B. dem 2.Isomorphiesatz der Gruppentheorie...

Konkret zu deiner jetztigen Frage hatte ich ja oben schon alles dazu gesagt, nämlich

Zitat:

Original von Mystic
Wenn G eine endliche Gruppe ist und $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ , dann müssen sich die Potenzen von a mit positiver Hochzahl, also

$\begin{eqnarray*} a,a^2,a^3 \end{eqnarray*}$ ,... usw.

wegen der Endlichkeit von G irgendwann wiederholen

Was genau verstehst du daran nicht? Es gibt unendlich viele Potenzen von a, aber nach Voraussetzung nur endlich viele Elemente in G, daher können nicht alle diese Potenzen verschieden sein und müssen sich irgendwann wiederholen...

12.02.2013, 11:42

Monoid

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RE: Monoide
Stimmt. Sie müssen sich wiederholen.

Und den 2. Isomorphiesatzes habe ich dank dem Matheplaneten verstanden...

12.02.2013, 12:00

Monoid

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RE: Monoide
Ok, wäre das hier ein gültiger Beweis:

Zitat:

Wegen (ii) handelt es sich bei $\begin{eqnarray*} f_a \colon G \to G ; f_a (x)= a x \end{eqnarray*}$ um einen Monomorphismus. Wegen der Endlichkeit von G, auch um eine Bijektion.

Wegen $\begin{eqnarray*} f_a \in S_{|G|} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{ord} ( f_a ) \end{eqnarray*}$ endlich. Sprich $\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb N_{\geq 0} \colon f_a^n =\operatorname{id} \Leftrightarrow \exists n \in \mathbb N_{\geq 0} \colon (a x)^n = a^n x^n = e \Rightarrow \end{eqnarray*}$ es existiert ein Inverses zu $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ , was impliziert, dass es auch zu x ein Inverses (und zwar a) existiert. $\begin{eqnarray*} \qed \end{eqnarray*}$

12.02.2013, 12:21

Mystic

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RE: Monoide
Leider wieder haushoch daneben... unglücklich

$\begin{eqnarray*} f_a^n=id \end{eqnarray*}$

bedeutet ausgeschrieben

$\begin{eqnarray*} \forall x \in G: a^nx=x \end{eqnarray*}$

d.h., $\begin{eqnarray*} e:=a^n \end{eqnarray*}$ ist ein Linkseinelement für dieses n. Analog zeigt man mithilfe von Rechtsmultiplikationen, dass $\begin{eqnarray*} f:=a^m \end{eqnarray*}$ für eine gewisse positive ganze Zahl m ein Rechtseinselement ist. Daraus folgt aber wegen

$\begin{eqnarray*} e=ef=f \end{eqnarray*}$

sofort dir Gleichheit von e und f und man hat in $\begin{eqnarray*} a^{n-1} \end{eqnarray*}$ auch gleich das Inverse zu a...

12.02.2013, 12:31

Monoid

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RE: Monoide
Ok, vielen vielen Dank für deine Geduld, Hilfe etc. ! smile

12.02.2013, 13:22

Mystic

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RE: Monoide
Ich bin für die Umkehrung übrigens nur von endlichen Halbgruppen ausgegangen, was ja auch vollkommen ausreicht, wie man gesehen hat... Wenn man sogar endliche Monoide, also endliche Halbgruppen mit Einselement voraussetzt, wird das Ganze dann natürlich noch einfacher... Der Beweis sieht dann so aus, dass man die Potenzen

$\begin{eqnarray*} a^0=e,a,a^2,... \end{eqnarray*}$

betrachtet, wo also wegen der Endlichkeit von G Gleichheiten auftreten müssen... Sei i die kleinste natürliche Zahl, für die es ein $\begin{eqnarray*} j \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit j<i gibt, sodass $\begin{eqnarray*} a^i=a^j \end{eqnarray*}$ ... Wäre dann j>0, so könnte man durch a kürzen, was dann einen Widerspruch zur Minimaleigenschaft von i ergibt... Also ist tatsächlich

$\begin{eqnarray*} a^i=a^0=e \end{eqnarray*}$

womit man dann in $\begin{eqnarray*} a^{i-1} \end{eqnarray*}$ das Inverse zu a gefunden hat...

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