Monoide

Neue Frage »

Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
Monoide
Hi,
Ich soll folgende Aufgabe lösen:
(i)G ist eine Gruppe
(ii) für mit ax=ay oder xa=ya folgt stets x=y.
Es gilt stets (i) => (ii). Man zeige, dass die Umkehrung für endliche Monoide G richtig ist, nicht aber für beliebige Monoide.

Hier habe ich überhaupt keine Ideen. unglücklich
LuckyLoser Auf diesen Beitrag antworten »

Die Verwendung genau eines Gruppenaxioms löst die Aufgabe sofort.
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Gemäß ii) sind Multiplikationen (egal ob von links oder rechts) mit einem festen a des Monoids jedenfalls injektiv... Ist G endlich, so ist jede injektive Abbildung von G in G aber auch automatisch bijektiv...
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wrum ist die Abbildung dann bijektiv?
Warum gilt: ?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussage (ii) liefert dir wörtlich die Injektivität einer solchen Abbildung. Wie Mystic gemeint hat, gilt nun allgemein, wenn eine injektive Abbildunge zwischen endlichen gleichmächtigen Mengen ist, dann ist auch surjektiv. Denn alle Elemente aus werden unter auf jeweils unterschiedliche Elemente in abgebildet. Wegen hat also jedes Element aus ein Urbild unter .

Edit: Siehe Korrektur in rot.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Achso! Aber das gilt ja nur bei endlichen Monoiden.

Wenn G aber unendlich ist, gilt das daher nicht. Weil die Surjektivität nicht erhalten ist.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathemathemathe
Wenn G aber unendlich ist, gilt das daher nicht.

Eben! Und laut Aufgabenstellung musst du genau für diesen Fall ein Gegenbeispiel angeben...
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Kriege ich noch eine kleinen Tipp? Ich schaffs sonst nicht... unglücklich
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte die natürlichen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung...
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Die natürlichen Zahlen mit oder ohne 0?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre nicht egal, wenn man als Verknüpfung die Multiplikation nehmen würde, da dann für a=0 die Voraussetzung der Kürzbarkeit nicht gelten würde... Für die Addition ist das aber offensichtlich egal, daher ist das in meinen Augen eine höchst seltsame Frage... geschockt

P.S: Und ja, wer mich kennt, weiß, dass die 0 immer dabei ist... Big Laugh
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Falls das irrelevant ist, weiß ich trotzdem nicht weiter, denn vom Gelichungs lösen kenne ich das so, dass es immer darf verwirrt .
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathemathemathe
Falls das irrelevant ist, weiß ich trotzdem nicht weiter, denn vom Gelichungs lösen kenne ich das so, dass es immer darf verwirrt .

Diesen Satz versteh ich leider vom Wortsinn her nicht... unglücklich
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich doch eine Gleichung löse, und es dann vorteilhaft wäre, auf beiden Seiten eine natürliche Zahl drauf zu addieren, darf ich das doch immer machen. verwirrt
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber was hat das mit der Aufgabe hier zu tun? verwirrt
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch dasselbe, hier haben wir auch die Verknüpfung + und adfieren a hinauf.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber das ist doch nur linke Seite von



und betrifft nicht die Implikation selbst...
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe das nicht, das gilt doch immer!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ja auch nichts anderes behauptet... Du bist doch derjenige, der hier immer von der linken Seite der Implikation spricht, statt von der eigentlichen Implikation... geschockt
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich habe von der rechten Implikation gesprochen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du unter der "rechten Implikation"? Es gibt doch hier nur eine... verwirrt
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Darunter vertehe ich (ii)=>(i).
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, und was wäre dann die "linke Implikation" ?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

(i) =>(ii)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, ich nehme zur Kenntnis, was du unter "linker" und "rechter" Implikation verstehst, obwohl ich persönlich von einem Schluß von "links nach rechts" bzw. von "rechts nach links" sprechen würde, verstehe aber immer noch nicht, was das mit unserem Thema, nämlich

Zitat:
Original von Mystic
Ja, aber das ist doch nur linke Seite von



und betrifft nicht die Implikation selbst...

zu tun hat... Vielleicht zur Klarstellung: Wenn man eine Implikation



hat, so heißt A die "Prämisse" und B die "Konklusion"... Wenn ich von der "linken Seite" der Implikation gesprochen habe, so habe ich damit die Prämisse x+a=y+a gemeint, als die "rechte Seite" könnte man die Konklusion x=y ansehen...
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Für was sollich denn dann ein Gegenbeispiel zeigen?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Umkehrung geht es ja schlecht. Weil die doch immer gilt.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monoide
Zitat:
Original von Mathemathemathe
Man zeige, dass die Umkehrung für endliche Monoide G richtig ist, nicht aber für beliebige Monoide.


Zitat:
Original von Mathemathemathe
Für die Umkehrung geht es ja schlecht. Weil die doch immer gilt.

Du bringst aber auch wirklich alles durcheinander: Siehe obigen Teil der Angabe, da steht wortwörtlich das genaue Gegenteil von dem was du sagst... Forum Kloppe
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monoide
Ich weiß, ich halte das was man zeigen soll auch für falsch..
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst also, dass die Implikation (ii) => (i) auch für unendliche Monoide erfüllt sein soll?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wir hatten doch schon ein Gegenbeispiel. Im Monoid ist die Kürzungsregel erfüllt, trotzdem ist es keine Gruppe.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, man! Jetzt seh ich meinen Denkfehler!

Ich wollte die ganze Zeit ein Gegenbeispiel für die Implikation in (ii) finden!


Vielen Dank für eure Geduld etc. ! Wink
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bin ich beruhigt. Augenzwinkern Guten Rutsch. Wink
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, gleichfalls! Wink
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Aber wir hatten doch schon ein Gegenbeispiel. Im Monoid ist die Kürzungsregel erfüllt, trotzdem ist es keine Gruppe.

Eigentlich habe ich die ganze Zeit geahnt, dass sich Mmm dieser Tatsache nicht bewußt war... unglücklich

Die Frage ist nur, was aus seiner Sicht der Grund dafür war, dass wir uns gerade mit diesem Monoid seitenlang auseinandergesetzt haben... verwirrt

Aber trotzdem guten Rutsch auch... Wink
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Der Tatsache war ich mir schon bewusst. Ich habe die Aufgabe fataler und peinlicher Weise falsch verstanden. Und unsere Diskussion wüdre ich nicht als Ausseinnandersetzung bezeichnen.smile

Und auch einen guten Rutsch! Wink
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monoide
Hi! Wink

Ich habe aber die Probleme zu zeigen, dass für endliche Monoid (ii)-> (i) gilt.

Könntet ihr mir einen Tipp geben?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monoide
Wie ist denn eine Gruppe definiert? Was ist also zu zeigen? An welchem Punkt hast du Probleme?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monoide
Das Problem ist zu zeigen, dass ein Inverses existiert.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »