Kurven im Dreidimensionalen

30.12.2012, 19:41	Itzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurven im Dreidimensionalen Meine Frage: Hallo an alle! Ich habe eine Frage bezüglich dieser Kurve: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix},u=0...2Pi \end{eqnarray}$ Ist es möglich, diese auf irgendeine Ebene im Raum abzubilden, die sich auch noch bewegt? Meine Ideen: Habe es schon mit den einzelnen Rissen versucht: Grundriss, Aufriss und Seitenriss, die dann lauten: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 0\\ cos(u)sin(u) \\ sin(u) \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} cos^2(u) \\ 0 \\ sin(u) \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} cos^2(u) \\ cos(u)sin(u) \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Aber was mache ich, wenn ich irgendeine Ebene habe? Bin jetzt mal so vorgegangen: Wähle die Ebene: $\begin{eqnarray} E: x+y+3z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|\vec{n}\|=\sqrt{11} \end{eqnarray}$ Jetzt möchte ich einen Punkt der Kurve auf die Ebene abbilden und wähle einen allgemeinen Punkt: $\begin{eqnarray} \vec{p}=\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun habe ich eine Gerade duch $\begin{eqnarray} \vec{p} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} g:\vec{x}=\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix} mit k\in\mathbb R \end{eqnarray}$ Dann muss ja der Schnittpunkt $\begin{eqnarray} \vec{p'} \end{eqnarray}$ folgendes erfüllen: $\begin{eqnarray} \vec{p'}\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=\left(\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=6 \Rightarrow k=\frac{6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}}{11} \end{eqnarray}$ Also ergibt sich für $\begin{eqnarray} \vec{p'} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \vec{p'}=\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}+\frac{6-\begin{pmatrix}cos^2(u)\\cos(u)sin(u)\\sin(u)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}}{11}\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bin ich bis hierhin auf dem richtigen Weg? Wie muss ich weiter vor gehen, damit ich eine Abbildung der Kurve auf die Ebene habe? Liebe Grüße Itzi

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