Lösen v. Gleichung

30.12.2012, 20:09

Lorenzial

Lösen v. Gleichung

Es geht um folgende AUfgabe:

Wie viele Lösungen gibt es für die folgende Gleichung mit folgenden Bedingungen:

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 30 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} 0 \le x_i \le 10 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} x \in Z \end{eqnarray*}$

?

Mir fehlt ein Anfang, wie man wohl unschwer erkennen kann smile

31.12.2012, 03:17

bensa

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Hi Lorenzial,

kann sein, dass es viel zu umständlich ist, aber ich würde einfach systematisch alle möglichen Lösungen durchgehen. Mir fällt gerade nämlich nichts besseres dazu ein. verwirrt

Also betrachte erstmal den Fall, dass 3 der Zahlen 10 sind und eine 0 (davon gibt es 4 Möglichkeiten).
Dann hältst du 2 Zahlen fest und setzt sie 10 (davon gibt es 4 über 2 = 6 Möglichkeiten) und gehst durch wieviele Möglichkeiten es gibt mit den restlichen 2 Zahlen die Summe 10 zu erreichen (natürlich darfst du jetzt die Möglichkeiten mit der 10 nicht mehr berücksichtigen, weil du diese ja schon im ersten Fall berücksichtigt hast). So gehst du dann weiter vor: eine Zahl wird 10 gesetzt (4 Möglichkeiten) und 3 Zahlen liefern in der Summe 20. Dann musst du noch die Anzahl der Möglichkeiten bestimmen, wo die Summe von 4 Zahlen aus der Menge {1,..,9} 30 ergibt......Kann aber sehr gut sein, dass es einen leichteren Lösungsweg gibt.
In welchem Zusammenhang wurde die Aufgabe denn gestellt ?

Beste Grüße

bensa

31.12.2012, 11:45

Lorenzial

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Hallo,

die Aufgabe wurde als bloße Übungsaufgabe so gestellt, wie ich sie oben gepostet habe.

Deine Vorgehensweise habe ich auch shcon in betracht gezogen, werde sie auch erstmal so ausführen.

Vielleicht fällt ja jemandem doch noch ein "kompakter" Lösungsweg ein.

Vielen Dank auf jeden Fall soweit!

31.12.2012, 12:07

Monoid

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Das geht nicht kompakter. Du hast eine(!) Gleichung mit 4(!) unbekannten. Das ist alles andere als eindeutig! Und umformen bringt eh nichts. Weil du aber nur endlich viele Kandidaten hast, würde ich auch alle ausprobieren? Natürlich kann man sich Nebenüberlegungen machen, was den Weg doch noch kompakter macht aber...

31.12.2012, 12:41

Mystic

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Und wieder eine Menge Unsinn, den ich hier lesen muss... unglücklich

Es geht bei dieser Aufgabe einfach darum, den Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} x^{30} \end{eqnarray*}$ in der Reihenentwicklung von

$\begin{eqnarray*} (1+x+x^2+\ldots+x^{10})^4 \end{eqnarray*}$

zu berechnen...

Edit: Ich hoffe, das ist jetzt nicht eine Aufgabe aus irgendeinem math. Wettbewerb... Könnte das mal irgendjemand checken? verwirrt

31.12.2012, 12:47

Monoid

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Davon ist in der aufgabenstellung nicht die Rede... verwirrt

31.12.2012, 12:49

Lorenzial

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Hallo,

zum Post von bensa:

Wenn ich nun beim Schritt bin "Eine Zahl ist 10, die restlichen Drei ergeben in der Summe 20", wie viele Möglichkeiten gibt es dann?
Für die erste der drei Zahlen habe ich 9 Möglichkeiten ({1, ..., 9}); für die zweite Zahl bleiben dann ebenfalls 9 Möglichkeiten. Aber für die dritte Zahl ist es verschieden. Da haperts ein wenig..
Gleiches dann natürlich die den vierten un letzten Schritt.

@ Mystic,

vielen Dank für deinen Post. Vielleicht könntest du mir als Studienanfänger aber noch einen Hinweis geben, wie man den Koeffizienten berechnet? Eine solche Darstellung/Berechnungsart ist mir leider (noch) fremd.

31.12.2012, 12:55

Mystic

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Zitat:

Original von Lorenzial
@ Mystic,

vielen Dank für deinen Post. Vielleicht könntest du mir als Studienanfänger aber noch einen Hinweis geben, wie man den Koeffizienten berechnet? Eine solche Darstellung/Berechnungsart ist mir leider (noch) fremd.

Vorher würde mich interessieren, wo die Aufgabe herkommt... Gibt's da einen Link dazu? verwirrt

Edit: Die Aufgabe ist nämlich "verdächtig" einfach, wenn man die richtige Idee dazu hat...

31.12.2012, 13:13

Lorenzial

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Ja, da gibt es einen Link dazu. Leider habe ich momentan keinen Zugriff darauf. Aber die Datei sieht so aus wie das kopierte Stück im Anhang smile

Jetzt bin ich sehr auf deine Antwort gespannt Wink

31.12.2012, 13:18

Mystic

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Die entscheidende Idee hier ist, dass die Koeffizienten

$\begin{eqnarray*} (1+x+x^2+\ldots+x^{10})^4 \end{eqnarray*}$

symmetrisch bez. der Mitte sind (warum?), d.h., der gesuchte Koeffizient von $\begin{eqnarray*} x^{30} \end{eqnarray*}$ ist zugleich der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} x^{10} \end{eqnarray*}$ ... Diesen kann man aber nun wirklich ganz einfach bestimmen... Augenzwinkern

31.12.2012, 13:18

URL

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fuchsc.sbg.ac.at/ws1213/dm_serie11.pdf

31.12.2012, 13:43

Lorenzial

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So, hallo noch einmal.

Obwohl du schreibst, man kann ihn "ganz einfach bestimmen", weiß ich nicht, was ich tun soll.
(Obgleich ich diese Frage hier im Bereich Analaysis gestellt habe, besitze ich in dem Bereich übrigens nur schulisches Mathematikwissen)

Eine ähnliche Aufgabe mit Lösung finde ich zwar hier auf div. Internetseiten, weiterhelfen kann mir das aber leider nicht sehr viel.

verwirrt

31.12.2012, 14:00

Mystic

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Ok, dann definitiv der letzte Hinweis, denn es kann nicht Aufgabe dieses Forums sein, alles im Detail vorzukauen, ohne dass von der anderen Seite auch nur irgendwas Brauchbares kommt... unglücklich

Statt den Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} x^{10} \end{eqnarray*}$ von

$\begin{eqnarray*} (1+x+x^2+\ldots+x^{10})^4 \end{eqnarray*}$

zu bestimmen, kannst du genausgut diesen Koeffizienten von

$\begin{eqnarray*} (1+x+x^2+\ldots+x^{10}+\ldots)^4 \end{eqnarray*}$

bestimmen, d.h., die Polynome nach rechts ad infinitum fortsetzen (warum?), was natürlich erheblich leichter ist...

Damit bleibt von meiner Seite nur mehr, dir einen guten Rutsch zu wünschen und vielleicht auch sowas die "Erleuchtung"... smile

31.12.2012, 17:12

bensa

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Hallo allerseits,

habe ich mir doch gedacht, dass es besser geht.....

Also noch einen tip meinerseits im Hinblick auf das was Mystic meint (bitte korrigiere mich, falls ich falsch liege Mystic).

Die von Mystic vorgeschlagene unendliche reihe (in den Klammern) konvergiert auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-x)} \end{eqnarray*}$ (geometrische reihe). Dann hast du also eine Funktion f die so aussieht:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{(1-x)^4} \end{eqnarray*}$

um nun den von Mystic vorgeschlagenen Koeffizienten zu ermitteln verwende die Taylorreihenentwicklung von f.

Beste Grüße

bensa

31.12.2012, 17:14

bensa

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achso und guten rutsch wünsche ich auch Augenzwinkern

07.01.2013, 11:29

Lorenzial

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Ich hab's jetzt nochmal versucht.

$\begin{eqnarray*} (1+x+x^2+\cdots +x^{10})^4 \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} (1-x^{12})*(1-x^{12})*(1-x^{12})*(1-x^{12}) * \frac{1}{1-x^4} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x^4} * (1 - 4x^{12} + 6x^{24} - 4x^{36} + x^{48}) \end{eqnarray*}$

Da mich nun nur diejenigen x mit Exponent max. 30 interessieren, heißt das:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x^4} * (1 - 4x^{12} + 6x^{24}) \end{eqnarray*}$

Und mich interessieren dabei die Koeffizienten von x^18 und x^6, die ich dann noch addieren muss.

hier stecke ich dann nun fest. Ich möchte gerne noch den Ausdruck
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x^4} \end{eqnarray*}$ umformen, um die gesuchten Koeffizienten zu ermitteln.

07.01.2013, 13:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lorenzial
$\begin{eqnarray*} (1-x^{12})*(1-x^{12})*(1-x^{12})*(1-x^{12}) * \frac{1}{1-x^4} \end{eqnarray*}$

Nicht 12, sondern 11 im Exponenten der Zählerpotenz, und zudem ist im Nenner $\begin{eqnarray*} (1-x)^4\neq 1-x^4 \end{eqnarray*}$ . Richtig wäre hier demnach $\begin{eqnarray*} \frac{\left(1-x^{11}\right)^4}{(1-x)^4} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Ich beobachte nicht zum ersten, und leider wohl auch nicht zum letzten Mal, dass der Weg über erzeugende Funktionen Leute ohne CAS-Unterstützung ziemlich überfordert. Der kombinatorische Weg (über die von Mystic ungeliebte Siebformel) liefert jedenfalls mit geringerer IT-Anforderung (d.h. gewöhnlicher TR reicht)

$\begin{eqnarray*} \binom{3+30}{3} - \binom{4}{1}\cdot \binom{3+19}{3} + \binom{4}{2}\cdot \binom{3+8}{3} = 286 \end{eqnarray*}$ .

Oder - wie oben erwähnt die Symmmetrie ausnutzend - gleich einfach nur $\begin{eqnarray*} \binom{3+10}{3} \end{eqnarray*}$ für die Anzahl der Lösungen von $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3+x_4=10 \end{eqnarray*}$ .

07.01.2013, 21:48

Mystic

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Naja, immerhin hat's Bensa begriffen, indem er schreibt

Zitat:

Original von bensa
Die von Mystic vorgeschlagene unendliche reihe (in den Klammern) konvergiert auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-x)} \end{eqnarray*}$ (geometrische reihe). Dann hast du also eine Funktion f die so aussieht:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{(1-x)^4} \end{eqnarray*}$

um nun den von Mystic vorgeschlagenen Koeffizienten zu ermitteln verwende die Taylorreihenentwicklung von f.

Um auf die Potenzreihenentwicklung von f(x) zu kommen, genügt es zudem

$\begin{eqnarray*} \frac1{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k \end{eqnarray*}$

dreimal abzuleiten und die entstehende Gleichung durch 3! zu dividieren, womit sich der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} x^{10} \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} \binom {13}3 \end{eqnarray*}$

ergibt...

Lorenzial hat das leider nicht nur vollkommen ignoriert, sondern ist basierend auf frühere Vorschläge seine eigenen Wege gegangen und dabei prompt gestrauchelt... Dass es ihm bei Anwendung der Siebformel besser ergangen wäre, liegt sicher im Bereich des Möglichen, bewiesen ist es aber nicht...

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