Hypothesentest Münzwurf

30.12.2012, 20:25	Cosimos23	Auf diesen Beitrag antworten »
Hypothesentest Münzwurf Meine Frage: Zwei Zocker A und B unterhalten sich nach dem Spiel. A meint: "Ich habe den Eindruck, dass bei der Münze Kopf wesentlich öfter als Zahl erscheint." Zocker B: "Ich nicht." A stellt also die Hypothese H_{0} : p > \frac{1}{2} auf, wobei p die Wahrscheinlichkeit für Kopf angibt. Die Hypothese von B lautet dann H_{2} : p \leq \frac{1}{2}. A und B werfen nun 900mal die Münze und erhalten 481mal "Zahl". Ist die Hypothese H_{0} abzulehnen bei einer Irrtumswarscheinlichkeit \alpha von a) \alpha = 0.05 b) \alpha = 0.01 Hinweis: Approximieren Sie die Binomialverteilung durch die Gaußsche Glockenkurve (ohne Korrekturterme). Meine Ideen: Guten Tag liebe Gemeinde, Zu dieser Aufgabe habe ich mir folgende Gedanken gemacht: Die Wahrscheinlichkeit bei einer Münze Kopf oder Zahl zu bekommen liegt bei \bruch{1}{2}. 900 mal wird eine Münze geworfen und wir erwarten sozusagen, dass 450 mal Kopf und 450 mal Zahl fällt. Nun ist jedoch mehr als die Hälfte Zahl gefallen, womit die H_{0} unrecht hat. Heißt also, dass H_{0} nur Werte unter 450 annehmen kann damit seine Aussage gültig wäre und wenn sich der Test um 0,05 (50 Würfe mit Zahl) verändern würde (481-50 = 405), wäre H_{0} gültig! Das sind jetzt meine ersten Gedanken. Jedoch weiß ich nicht wirklich was gewollt ist. Vielen Dank im voraus!
02.01.2013, 07:25	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es geht ja um einen Hypothesentest. Den muss man systematisch durchführen. Dafür brauchst du erstmal eine Testgröße T. Sie ist: $\begin{eqnarray} T=\frac{{\widehat{p}} - p_0}{\sqrt{n \cdot p_0 \cdot (1-p_0) }} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_0 \end{eqnarray}$ ist die hypothetische Wahrscheinlichkeit, also 0,5. $\begin{eqnarray} \widehat{p} \end{eqnarray}$ ist der Anteil der "Kopf"-Würfe an den Gesamtwürfen. Den kannst du berechnen. Bei dieser Aufgabe musst du aufpassen. Der Wert 481 bezieht sich auf die Anzahl der "Zahl"-Würfe. $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist die Gesamtanzahl der Würfe. Somit kannst du schon mal T bestimmen. Jetzt hast du beim Aufgabenteil a) ein Signifikanzniveau von 5%. Du musst jetzt $\begin{eqnarray} z_{1-\alpha}=z_{1-0,05}=z_{0,95} \end{eqnarray}$ in der Standardnormalverteilungstabelle ermitteln. Du schaust bei welchem z-Wert die Standardnormalverteilung den Wert 0,95 annimmt. Die Tabelle findest du z.B. hier (Klick). Jetzt die Entscheidungsregel für diese Aufgabe: Ist $\begin{eqnarray} T \leq -z_{0,95} \end{eqnarray}$ dann wird $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ abgelehnt. Ist $\begin{eqnarray} T > -z_{0,95} \end{eqnarray}$ dann wird $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ nicht abgelehnt. Die b) funktioniert genauso. Nur, dass hier $\begin{eqnarray} \alpha = 1% = 0,01 \end{eqnarray}$ ist. Grüße.
02.01.2013, 08:05	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die gewählte Nullhypothese ist sinnlos. Die Nullhypothese $\begin{eqnarray} H_0: \quad p > 1/2 \end{eqnarray}$ kann ja nur abgelehnt werden, wenn das beobachtete $\begin{eqnarray} \hat p \end{eqnarray}$ kleiner 1/2 ist. Da es aber größer ist, kann diese Nullhypothese nicht abgelehnt werden, egal, welches Signifikanzniveau man wählt. Dazu braucht man keinen Hypothesentest. Das Ergebnis des Tests wäre nur, dass die beobachtete Häufigkeit mit dieser Hypothese verträglich ist und das ist ein schwaches Ergebnis. Sinnvoll ist hier nur die Nullhypothese $\begin{eqnarray} H_0: \quad p \leq 1/2 \end{eqnarray}$ Wenn diese Hypothese abgelehnt wird, hat man das starke Ergebnis, dass die Alternativhypothese $\begin{eqnarray} H_1 \end{eqnarray}$ , die dem vorigen $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ entspricht, sehr wahrscheinlich richtig ist. Edit: Bitte vergessen! Lesefehler von mir.
02.01.2013, 08:11	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
@Huggy, $\begin{eqnarray} \widehat{p} \end{eqnarray}$ ist doch kleiner als 0,5. Oder habe ich mich verlesen? Grüße.
02.01.2013, 08:14	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh shit, du hast Recht. Ich habe überlesen, dass am Anfang Kopf steht, in der Hypothese aber dann Zahl.
02.01.2013, 08:19	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
@Huggy Ich bin da auch hängengeblieben. Deswegen habe ich in meinem Beitrag extra darauf hingewiesen. Ich hoffe der TE versteht meinen Hinweis.
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