Relative Fehlerfunktion bei Approximierung

31.12.2012, 13:01

Relative Fehlerfunktion bei Approximierung

Die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=8(e^{0,02x} +e^{-0,02x} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

kann durch die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f^*(x)=8e^{0,02x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\geq 75 \end{eqnarray*}$

approximiert werden.

_________________________________________

Geben sie eine Gleichung für eine Funktion an, die den relativen Fehler bei Verwendung der Näherungsformel $\begin{eqnarray*} f^*(x) \end{eqnarray*}$ beschreibt. Berechnen sie den größtmöglichen relativen Fehler.

__________________________________________

Ich habe mir die Graphen mal skizziert (Bildanhang).

Ich habe mich erstmal gefragt was mit relativen Fehler gemeint sein könnte. Da kam ich zu dem Schluss, dass vermutlich der Abstand (also der "Fehler") damit gemeint ist.

Deshalb würde ich die relative Fehlerfunktion durch eine Differenzenfunktion zwischen beiden darstellen.

$\begin{eqnarray*} R(x)=f(x)-f^*(x)=8(e^{0,02x} +e^{-0,02x} )-8e^{0,02x}= 8e^{0,02x} +8e^{-0,02x} -8e^{0,02x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R(x)=8e^{-0,02x} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig? Ich wollt nicht weiterrechnen, wenns komplett falsch ist :/

31.12.2012, 13:16

zyko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Relative Fehlerfunktion bei Approximierung
Ich verstehe unter dem relativen Fehler
$\begin{eqnarray*} R(x) = \left|\frac{f(x)-f^*(x)}{f(x)}\right| \end{eqnarray*}$ .
Diesen Fehlerterm evtl. noch geschickt abschätzen.

31.12.2012, 13:18

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah... okay.
Wie kommst du auf die Formel?
Ist das ne Regel?

31.12.2012, 13:57

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ja,

$\begin{eqnarray*} \rm relativer Fehler=|\frac {\text{absoluter Fehler}}{\text{Grundwert}}| \in \mathbb R_{+} \end{eqnarray*}$

, was man noch mit 100% multiplizieren kann.

31.12.2012, 14:27

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.

Mein Tafelwerk sagt dazu:
Der relative Fehler ist das Verhältnis von absoluten Fehler zum genauen Wert.

Die Frage ist nun: was ist mein absoluter Fehler und was ist mein Grundwert?

Der Grundwert ist ja klar, ist meine echte Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .

Und der absolute Fehler ist dann der Abstand zwischen beiden Funktionen also:
$\begin{eqnarray*} f(x)-f^*(x) \end{eqnarray*}$

Habe ich das so richtig verstanden?

31.12.2012, 14:41

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

genauso ist es gemeint.

31.12.2012, 15:30

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das hab ich verstanden.

Ich habe trotzdem ein Problem.

Ich hab die Fehlerfunktion dann aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} R(x)=\frac{f(x)-f^*(x)}{f(x)} =1-\frac{f^*(x)}{f(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R(x)=1-\frac{e^{0,02x} }{e^{0,02x}+e^{-0,02x} } \end{eqnarray*}$

Nun soll ich ja den größtmöglichen Fehler bestimmen.
Also leite ich die Funktion ab und setze die 0 um x zu bestimmen.

$\begin{eqnarray*} u=e^{0,02x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=0,02e^{0,02x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=e^{0,02x}+e^{-0,02x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'=0,02e^{0,02x}-0,02e^{-0,02x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R'(x)=-\frac{0,02e^{0,02x}\cdot e^{0,02x}+0,02e^{0,02x}\cdot e^{-0,02x} -e^{0,02x}\cdot 0,02e^{0,02x}+0,02e^{-0,02x}\cdot e^{0,02x} }{(e^{0,02x}+e^{-0,02x})^{2} } \end{eqnarray*}$

Wenn ich das noch vereinfache:

$\begin{eqnarray*} R'(x)=-\frac{0,02e^{0,04x}+0,02e^{0,02x-0,02x}-0,02e^{0,04x} +0,02e^{0,02x-0,02x}}{(e^{0,02x}+e^{-0,02x} )^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R'(x)=-\frac{0,04}{(e^{0,02x}+e^{-0,02x} )^{2} } \end{eqnarray*}$
______________________________________________

Die Ableitung kann somit nicht 0 werden.

Der größte relative Fehler kann somit nur an den Intervallsgrenzen liegen.

$\begin{eqnarray*} 75\leq x<\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 75} 1-\frac{e^{0,02x} }{e^{0,02x}+e^{-0,02x} }=6,83\cdot 10^{-8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } 1-\frac{e^{0,02x} }{e^{0,02x}+e^{-0,02x} } =0 \end{eqnarray*}$

Das würde heißen, dass der größte relative Fehler bei x=75 liegt. Die Fehler werden für größerwerdende x kleiner.

___________________________________________

Stimmt das?
Habe mich bestimmt verrechnet.

31.12.2012, 16:41

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Yu

$\begin{eqnarray*} R(x)=1-\frac{e^{0,02x} }{e^{0,02x}+e^{-0,02x} } \end{eqnarray*}$

Ich würde den originalausdruck verwenden:

$\begin{eqnarray*} R(x)=\frac {e^{-0.02x}}{e^{0,02x}+e^{-0,02x}} \end{eqnarray*}$

Zähler fällt monoton, Nenner wächst monoton. Da genügt es doch für x 75 einzusetzen. Oder ?

Das Maximum ist ein Absolutes, hier bringt dich Ableiten nicht weiter, zudem gibt es keine Nullstelle der Ableitung.

31.12.2012, 16:44

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm gut...

aber 75 ist dann das Maximum oder?

Über den Ausdruck kann man jetzt diskutieren oder nicht... solang die Lösung stimmt.

Ist 75 nun richtig?

31.12.2012, 16:46

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, R(75) ist richtig. Augenzwinkern

31.12.2012, 16:55

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank =)

Neue Frage »

Antworten »

Relative Fehlerfunktion bei Approximierung

Verwandte Themen