Konvergenz von Reihen

31.12.2012, 14:38	StevenSpielburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen Hallo, ich muss die Konvergenz folgender Reihe bestimmen. Habe leider keine Idee wie ich durch geschicktes umformen auf die Konvergenz schließen kann. Meine Konvergenzkriterien helfen mir auch nicht weiter... Hier die Reihe, danke schon mal im voraus. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^{2}-1 } } \end{eqnarray}$
31.12.2012, 16:00	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Man sieht ja schnell, dass die Potenz irgendwie hoch -1 ist. Somit ist es irgendwie so etwas wie 1/n. Man weiss ja, dass $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ . Somit ist intuitiv schon klar, dass das ganze nicht konvergiert. Das muss jetzt nur noch bewiesen werden. Hier wuerde ich es so umformen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{n^2 -1 } } = \frac 1 n \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{n^2} }}\;\; \underbrace{\ge}_{n \ge 0 } \;\; \frac 1 n \end{eqnarray}$ Man koennte vll. noch bisschen besser argumentieren, aber von der Idee her wuerde ich es so machen.

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