Zetafunktion und Polylogarithmus

31.12.2012, 17:05

vin97

Zetafunktion und Polylogarithmus

Mal eine ganz kurze Frage:
Für welche $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ gilt folgende Beziehung (das steht nämlich weder bei Wikipedia noch bei Wolfram Alpha)?
$\begin{eqnarray*} \textrm{Li}_{s}(1)=\zeta(s) \end{eqnarray*}$

31.12.2012, 17:12

sergej88

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Hallo vin97,

vergleiche mal beide Definitionen in Wikipedia. Dann stellst du fest, dass diese doch übereinstimmen. Folglich gilt die Identität erstmal überall dort wo die Reihe konvergiert.

Falls du dieses im Zusammenhang mit Funktionentheorie betrachtest, so auch für die analytischen Fortsetzungen (Identitätssatz etc.)

mfg

31.12.2012, 17:22

vin97

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Zitat:

Original von sergej88
Falls du dieses im Zusammenhang mit Funktionentheorie betrachtest, so auch für die analytischen Fortsetzungen (Identitätssatz etc.)

Gut, das wollte ich wissen. D.h. man darf auf die analytische Fortsetzung der Zetafunktion zurückgreifen, wenn die ursprüngliche Reihe von $\begin{eqnarray*} \textrm{Li}_{s}(1) \end{eqnarray*}$ nicht mehr konvergiert?

31.12.2012, 17:24

sergej88

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Ich sage mal ja, aber ich glaube du machst es dir iwie zu schwer.

In deinem speziallfall stimmen die Definitionen exakt überein. Sprich sind einfach die Reihe. Der Identitätssatz sagt, dass es sowieso nur eine analytische Fortsetzung in s geben kann. Für die Zeta-funktion ist eine solche bekannt. Damit gibt es für die andere Funktion sowieso nur noch diese Möglichkeit das ganze in s analytisch fortzusetzen.

Hilft das dir weiter?

mfg

31.12.2012, 17:52

vin97

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Alles klar, ich wollte nur sichergehen, dass das auch wirklich erlaubt ist.
Irgendwie komme ich nämlich dann auf das:
$\begin{eqnarray*} \arg (\zeta(1)) \; \textrm{mod} \; \pi = 0 \pm \varepsilon \end{eqnarray*}$

31.12.2012, 18:45

vin97

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Hallo?
Wäre das nicht ein Widerspruch, da $\begin{eqnarray*} \zeta(1) \end{eqnarray*}$ doch eine komplexe Unendlichkeit ist und somit ein unbestimmtes Argument besitzen müsste?

01.01.2013, 16:56

sergej88

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Hier kann ich dir nicht folgen.

Du wirst wohl genauer ausholen müssen, damit ich dir helfen kann. Was machst du, wo kommt das her etc.

Frohes neues übrigens, erstes mal Mathe dieses Jahr. Und dann gleich was interessantes, bin gespannt

01.01.2013, 20:02

vin97

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Gleichfalls. Gut, mach ich. Ich wollte nur abwarten, ob überhaupt Interesse besteht.

02.01.2013, 17:02

vin97

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Man fängt an mit folgender Funktion:
$\begin{eqnarray*} f_{s}(x)=\textrm{Li}_{s}(e^{x}) \end{eqnarray*}$
Mit der polylogarithmischen Ableitungsregel $\begin{eqnarray*} \textrm{Li}^{'}_{k}\!(v(x))=\frac{v^{'}(x)}{v(x)} \textrm{Li}_{k-1}\!(v(x)) \end{eqnarray*}$ ist es leicht zu sehen, dass
$\begin{eqnarray*} f_{s}^{(k)}(x)=\textrm{Li}_{s}^{(k)}(e^{x})=\textrm{Li}_{s-k}(e^{x}) \; \forall \; k \; \epsilon \; \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$
Mit Hilfe der Beziehung $\begin{eqnarray*} \textrm{Li}_{s}(1)=\zeta(s) \end{eqnarray*}$ , kann man diesen Zusammenhang folgern:
$\begin{eqnarray*} f_{s}^{(k)}(0)=\zeta(s-k) \; \forall \; k \; \epsilon \; \mathbb{Z} \; \land s \; \epsilon \; \mathbb{C} \end{eqnarray*}$
So kann man die MacLaurinsche Reihe von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ entwickeln:
$\begin{eqnarray*} f_{s}(x)=\textrm{Li}_{s}(e^{x})=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\zeta(s-k)}{k!} x^{k} \end{eqnarray*}$
Mit der Beziehung $\begin{eqnarray*} \textrm{Li}_{s}(-1)=-\eta(s) \end{eqnarray*}$ und der auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ gültigen Beziehung $\begin{eqnarray*} \eta(s)=\left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s) \end{eqnarray*}$ erhält man:
$\begin{eqnarray*} f_{s}(i\pi)=\left(2^{1-s}-1\right) \zeta(s)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\zeta(s-k)}{k!} (i\pi)^{k} \end{eqnarray*}$
Nach etwas Umformen hat man diese "Rekursivreihe":
$\begin{eqnarray*} \zeta(s)=\frac{1}{2\left(2^{-s}-1\right)}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\zeta(s-k)}{k!} (i\pi)^{k} \end{eqnarray*}$
Durch Einsetzen, der Formel $\begin{eqnarray*} \zeta(1-k)=-\frac{\textrm{B}_{k}}{k} \; \forall \; k \; \epsilon \; \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \textrm{B}_{2k+1}=0 \; \forall \; k \; \epsilon \; \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ erhält man:
$\begin{eqnarray*} \zeta(1)=i\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\pi^{2k}\textrm{B}_{2k}}{k(2k)!} \end{eqnarray*}$
Die rechte Summe muss gegen $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ divergieren, da die Zetafunktion an der Stelle 1 einen einfachen Pol hat. Jedenfalls weiß man nun, dass die Zetafunktion an der Stelle 1 einen endlichen Imaginärteil und einen unendlichen Realteil besitzt. $\begin{eqnarray*} \zeta(1) \end{eqnarray*}$ taucht in dieser Rekursivformel für alle natürlichen s auf (entweder als "Grenzwert" oder als Koeffizient). Für alle natürlichen s gelangt man zur Folgerung, dass die Zetafunktion an der Stelle 1 einen endlichen Imaginärteil und einen unendlichen Realteil besitzt (man muss nur die Summe spalten und umformen).
Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \arg (\zeta(1)) \; \textrm{mod} \; \pi = 0 \pm \varepsilon \end{eqnarray*}$

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