Taylorreihe Exponentialfunktionen

31.12.2012, 17:09

DerMartin

Taylorreihe Exponentialfunktionen

Hi zusammen.
Ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Zitat:

In der Vorlesung wurde die Taylorreihe der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ bestimmt. Es gilt
$\begin{eqnarray*} e^x = \sum \frac {x^k}{k!} \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} x\in R \end{eqnarray*}$ . Leiten Sie daraus die Taylorreihen zum Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0 =0 \end{eqnarray*}$ für die folgenden Funktionen her.

(in dem Summenzeichen müsste noch k=0 bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ stehen, aber ich weiß nicht wie man das in Latex eintippen muss)

Zitat:

a) $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{2x+1} \end{eqnarray*}$

Ich hab erstmal die ersten Ableitungen gebildet und für x=0 ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} f'(0)=e \\ f''(0)=2e \\ f'''(0)=4e \\ f''''(0)=8e \end{eqnarray*}$
also dachte ich mir: $\begin{eqnarray*} f^n (x)=2^n \cdot e^{2x+1} \end{eqnarray*}$

und für die Taylorreihe dann:
$\begin{eqnarray*} e^x =e \cdot \sum \frac {(2x)^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Zitat:

b) $\begin{eqnarray*} f(x)=x^5e^x \end{eqnarray*}$

Das hier hat mir einige schwierigkeiten bereitet. Also die erste Ableitung wäre:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^x(x^5+5x^4) \end{eqnarray*}$ und für x=0 also $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Treibt man diese Ableitungen weiter addiert sich in der Klammer einfach immer die Ableitung des Klammerausdrucks dazu. D.h. wiederum, dass für x=0 jede Ableitung zu Null wird solange kein von x unabhängiger Summand in der Klammer steht.
Das ist ab der 5 ableitung der Fall:

$\begin{eqnarray*} d^5/dx^5 f(x) = e^x(x^5+25x^4+200x^3+600x^2+600x+120) \end{eqnarray*}$

Ich habe dann auch noch weitere Ableitungen gebildet und dann versucht eine Bildungsregel festzustellen, aber da gelang mir nicht. Der letzte Summand scheint aber der einzig wichtige zu sein.
Die Lösung müsste etwa so in der Art aussehen:
$\begin{eqnarray*} e^x =\sum \frac {N (mit Entwicklungsregel) \cdot x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ mit dem Laufindex k von 0 bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .
N müsste dabei mit 120 starten. Die Zahlenfolge sieht für die ersten paar (nach der 5.) Ableitung so aus: 720, 2520, 7120.
Hier weiß ich einfach nicht weiter.

Zitat:

c) $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x^2} \end{eqnarray*}$

Auch die Aufgabe fand ich echt schwer. Ein Entwicklungsgesetzt hab ich erst ab der 8. Ableitung erkannt. Ich kanns hier nicht Mathematisch sauber Ausformulieren aber folgendes ist zu erkennen:
1. jede ungerade Ableitung wird zu null, weil der ganze Term von x abhängt.
2. Für die gerade Ableitung habe ich ein vielfaches von $\begin{eqnarray*} e^{x^2} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} f''(0)= (2 \cdot 1) \\ f''''(0)= 4 \cdot 3 \\ f^{VI}(0)= 8 \cdot 15 \end{eqnarray*}$
es stellt sich also heraus, dass das Ergebnis der n-ten Ableitung immer ein Produkt aus zwei Faktoren ist die sich unterschiedlich entwickeln. Der erste ist $\begin{eqnarray*} 2^{\frac {n}{2}} \end{eqnarray*}$ und der zweite entwickelt sich auf die Art:
$\begin{eqnarray*} 1; 1*3; 1*3*5 = 15; 1*3*5*7=120;... \end{eqnarray*}$ ... ab der 2. Ableitung.

ICh habe das Gefühl, dass ich mir die Arbeit unnötig schwer mache, weshalb ich jetzt an der Stelle abgebrochen habe. Kann mir jemand einen Tipp oder Denkanstoß geben?

mfg

31.12.2012, 17:15

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die erste sieht richtig aus. Aber wie wäre es wenn du die Taylorreihe der Exponentialfunktion explizit benutzt und dabei den Rest passend dranmultiplizierst. Zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} e^{ax+b} = e^{b}e^{ax} = e^b \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(ax)^k}{k!} = \sum \limits_{k=0}^{\infty}a_k x^k \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} a_k = e^b\frac{a^k}{k!} \end{eqnarray*}$ .

usw.

mfg

31.12.2012, 17:31

DerMartin

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Hilft mir aber nur bei der ersten Aufgabe weiter, oder übersehe ich was?

mfg

01.01.2013, 16:59

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

ne das hilft auch bei den anderen Aufgaben. Polynome etc. kannst du doch in die Reine "reinziehen" Augenzwinkern

Ich bin mir sicher du kommst gleich drauf smile

02.01.2013, 13:11

DerMartin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich kann mit dem begriff "explizit" in dem Zusammenhang nicht viel anfangen, aber nur mal so um zu schauen ob ich verstanden habe worauf du hinaus möchtest.. meinst du das ungefähr so?:

$\begin{eqnarray*} && f(x)=x^5e^x \\ && T_k =x^5 \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Wobei man hier noch $\begin{eqnarray*} x^5 \end{eqnarray*}$ als Taylorpolynom ausdrücken kann, aber ich hab gerade wenig Zeit und will nur sehen ob ich auf das richtige gekommen bin.

und so:

$\begin{eqnarray*} && f(x)=e^{x^2} \\ && T_k = \left( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} \right)^2 \end{eqnarray*}$

Grüße

03.01.2013, 10:45

DerMartin

Auf diesen Beitrag antworten »

Mag jemand anderes mir sagen, ob ich richtig liege? sergej scheint abwesend zu sein smile

mfg

03.01.2013, 10:48

Monoid

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt. Freude

03.01.2013, 11:34

DerMartin

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man die Ausdrücke dann auch noch vereinfachen, oder ist man damit schon am Ende?

mfg

03.01.2013, 11:40

Monoid

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DerMartin
Ok ich kann mit dem begriff "explizit" in dem Zusammenhang nicht viel anfangen, aber nur mal so um zu schauen ob ich verstanden habe worauf du hinaus möchtest.. meinst du das ungefähr so?:

$\begin{eqnarray*} && f(x)=x^5e^x \\ && T_k =\color{red}x^5\color{red} \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Wobei man hier noch $\begin{eqnarray*} x^5 \end{eqnarray*}$ als Taylorpolynom ausdrücken kann, aber ich hab gerade wenig Zeit und will nur sehen ob ich auf das richtige gekommen bin.

und so:

$\begin{eqnarray*} && f(x)=e^{x^2} \\ && T_k = \left( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} \right)^2 \end{eqnarray*}$

Grüße

Du kannst die rote $\begin{eqnarray*} x^5 \end{eqnarray*}$ noch in die Summe ziehen.
Bei der anderen Reihe denke ich nicht.

Und statt [ latex] kannst du übrignes auch [ l] schreiben.

Edit: du kannst bei der Quadratsumme zwar $\begin{eqnarray*} (\sum_limits_{k=1}^{n} x_{k})^{2}=\sum_limits_{k=1}^{n} \sum_limits_{l=1}^{n} x_k x_l \end{eqnarray*}$ benutzen, aber das ist eigentlich nur eine andere Notation...

edit von sulo: Habe ein Space zwischen die eckige Klammer und "latex" gesetzt, denn sonst wird das Folgende tatsächlich in Latex geschrieben - was ja nicht beabsichtigt ist.

03.01.2013, 12:02

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Die zweite Reihe stimmt noch nicht, denn $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{x^2} \end{eqnarray*}$ bezeichnet üblicherweise $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{(x^2)} \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} (\mathrm e^x)^2 \end{eqnarray*}$

03.01.2013, 12:47

Monoid

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt habe ich auch übersehen... Entschuldigung.

03.01.2013, 13:54

DerMartin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok verstehe.
Aber ob die .. sagen wir "Konstante" $\begin{eqnarray*} x^5 \end{eqnarray*}$ hinter oder vor dem Summenzeichen steht macht ja eigentlich auch keinen unterschied, wenn ich mich nicht irre.

Interessanter wirds jetzt aber bei dem $\begin{eqnarray*} e^{x^2} \end{eqnarray*}$ . Jetzt wo ich es sehe wird mir auch klar, dass ich die Reihe nicht einfach ins Qadrat nehmen kann. Aber kann ich die Reihe für $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ in diesem Fall dann überhaupt expliziet anwenden? Ich wüsste dann nämlich wirklich nicht wie.

In der bissher von mir nicht genannten Aufgabe d) müssen wir den $\begin{eqnarray*} sinh \end{eqnarray*}$ mit der Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ beschreiben. Das wäre denke ich recht leicht, weil der $\begin{eqnarray*} sinh \end{eqnarray*}$ sich ja aus Exponenten zusammensetz.

Kann mir jemand nen Tip für $\begin{eqnarray*} e^{x^2} \end{eqnarray*}$ geben?

mfg

PS: ich habe die Schreibweise mit [l][\l] getestet... bei mir scheint sie nicht zu funktionieren

06.01.2013, 23:29

DerMartin

Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn der Thread hier alt ist würde ich trotzdem noch gerne wissen wie ich mit aufgabe c) fertig werden soll. smile

mfg

07.01.2013, 18:11

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty\frac{{\color{red}x}^k}{k!} \end{eqnarray*}$ die Taylor-Reihe zu $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\color{red}x} \end{eqnarray*}$ ist – wie könnte dann die zu $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\color{blue}x^2} \end{eqnarray*}$ aussehen? Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Taylorreihe Exponentialfunktionen

Verwandte Themen