Beweis Z/nZ ist Körper genau dann wenn n prim ist. Problem bei Gegenannahme

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Very Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Z/nZ ist Körper genau dann wenn n prim ist. Problem bei Gegenannahme
Hallo,
ich möchte zeigen, dass gilt
ist genau dann ein Körper, wenn n eine Primzahl ist.

Mein Problem liegt in der Hinrichtung, d.h. es gilt: ist ein Körper und ich möchte zeigen: n ist eine Primzahl.

Ich habe hier auch einen Beweis, nur Probleme beim Nachvollziehen der Gegenannahme.

Wenn ich hier die Gegennannahme verwende, sage ich ja es gilt n ist keine Primzahl und ich möchte zeigen, dass daraus folgt: ist kein Körper.


Start (Beweis aus meinem Skript)
Sei also n keine Primzahl, d.h. n zusammengesetzt, also n=c*d mit 1<c,d<n.

Existiert nun eine Inverse x zu c (d.h. es gilt cx kongruent 1 modulo n), so folgt


Dies ist ein Widerspruch. (ich nehme an zu 1<d<n)
Ende (Beweis aus meinem Skript)


mein Problem:
Aber warum darf ich hier annehmen, dass eine Inverse zu x existiert. Alles was ich verwenden darf, ist doch, dass n keine Primzahl ist und daraus möchte ich alles andere folgern, oder habe ich da einen Denkfehler drin?

Würde mich über Hilfe sehr freuen smile
lg Very
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Z/nZ ist Körper genau dann wenn n prim ist. Problem bei Gegenannahme
Zitat:
Original von Very
Aber warum darf ich hier annehmen, dass eine Inverse zu x existiert.

Weil als Körper vorausgesetzt ist. Man nimmt an nun an,
sei keine Primzahl. Das führt zu einem Widerspruch, also muss doch prim sein.
Very Auf diesen Beitrag antworten »

Echt, darf ich das? als Körper voraussetzen? Das darf ich doch gerade nicht wegen der Gegenannahme...

mal allgemein: Ich möchte zeigen: A --> B.
mit der Gegenannahme zeige ich nicht B --> nicht A.

Hier ist A= ist Körper, d.h. unter anderem es existiert ein Inverses

B = n ist prim.

Und ich darf doch jetzt für die Gegenannahme nur vorraussetzen, dass n nicht prim ist - also nicht B.

Und du sagtest, ich darf A und nicht B voraussetzen... und nach meinem Kenntnisstand darf ich nur nicht B voraussetzen...
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Very
mal allgemein: Ich möchte zeigen: A --> B.
mit der Gegenannahme zeige ich nicht B --> nicht A.

Was Du beschreibst, ist Beweis per Kontraposition. Im Skript wird Reductio ad absurdum verwendet.

Natürlich kannst Du den Beweis auch so führen wie formal von Dir angegeben. Sei also nicht prim. Warum ist dann kein Körper?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Klar. Denn wenn du annimst, dass n nicht prim ist, brauchst du auch eine Aussage über Z/nZ, sonst kannst du ja nicht zu einem Widerspruch kommen ( oder findest du einen, wenn du NUR annimmst, dass n prim ist, und von einem Körper oder so nicht die Rede ist? ). Und weil es hier halt um Körper geht, musst du das für den Beweis halt auch annehmen...
Very Auf diesen Beitrag antworten »

ah, ich glaube die Sache wird langsam klarer.. Da werden ja beide Beweistechniken in einer verwendet... und zwar:

Ich verwende also die Kontraposition (hieß bei uns immer Gegenannahme, aber ok).

Zu zeigen ist also (da ich die Kontraposition verwende): Sei n nicht prim so folgt ist kein Körper.

Sei also n nicht prim. Dann ist ist kein Körper, denn es existiert kein Inverses.

Noch zu zeigen: hat kein Inverses (unter der Bedingung dass n nicht prim ist)

Dies zeigen wir nun mit Reductio ad absurdum

Wir nehmen also an es gäbe ein Inverses zu x und gehen vor wie im 1. Post (und in meinem Skript) beschrieben:

Zitat:
Existiert nun eine Inverse x zu c (d.h. es gilt cx kongruent 1 modulo n), so folgt Dies ist ein Widerspruch. (ich nehme an zu 1<d<n)


Es kann also kein Inverses geben.

Damit ist der Beweis beendet.

Ist das richtig so?

@Mathemathemathe: Ja, was du sagst stimmt natürlich... Also könnte der Beweis gar nicht durchlaufen, würde ich nur die Kontraposition (und die daraus hervorgehenden Vorgaben) verwenden und nicht wie hier noch zusätzlich Reductio ad absurdum.
Das war aber gerade, was mich verwundert hat, da ich dachte, es würde nur die Kontraposition verwendet und ich daher keine Aussage über den Körper hätte machen können..
 
 
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Doch klar kannst du den Beweis auch ohne meiner Annahme machen. Aber im Skript war's halt reductio ad absurdum. Dann dachte ich, dass du das machen sollst.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Very
Sei also n nicht prim. Dann ist ist kein Körper, denn es existiert kein Inverses.

Noch zu zeigen: hat kein Inverses (unter der Bedingung dass n nicht prim ist)

Der rot markierte Teil ist eine falsch negierte Aussage. Es ist zu zeigen, dass nicht alle Elemente aus Inverse haben; nicht, dass keines ein Inverses hat (die ist schonmal immer selbstinvers).

Zitat:
Original von Very
@Mathemathemathe: Ja, was du sagst stimmt natürlich... Also könnte der Beweis gar nicht durchlaufen, würde ich nur die Kontraposition (und die daraus hervorgehenden Vorgaben) verwenden und nicht wie hier noch zusätzlich Reductio ad absurdum.

Das stimmt nicht, der Beweis funktioniert auch ganz ohne Reductio ad absurdum. Ist nicht prim, dann gibt es Zahlen mit , d.h. und damit sind Nullteiler, d.h. nicht-invertierbar in .
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