Grenzwert von n^2/3^n

01.01.2013, 00:53

Hansaflug

Grenzwert von n^2/3^n

Hi Leute,

Was ist eig der Grenzwert von n^2/3^n?
Ich weiss, man sieht halbwegs sofort, dass diese Folge gegen 0 strebt, aber wie beiweis ich das?
Ich habe z.B. An mit Wurzel von n genommen, und dann kommt:
n^(2/n) / 3
Weil (2/n) ja gegen 0 läuft, heisst es dann n^0/3 = 1/3.
Aber 1/3 ist ja nicht der Grenzwert, wo liegt mein Fehler?

Bitte um Hilfe

01.01.2013, 01:29

Cheftheoretiker

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RE: Grenzwert von n^2/3^n
Hi,

ich werde jetzt bestimmt Hohn und Spot ernten aber sei's drum. Big Laugh

Probier es mal mit L'Hospital. smile

01.01.2013, 01:36

Helferlein

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Keine gute Idee.
Erstens haben wir hier eine Folge und keine reelle Funktion und zweitens ist das viel zu aufwändig.
Eine Abschätzung von $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ reicht aus.

01.01.2013, 01:52

Hansaflug

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Was meinst du mit Abschätzung?
Was ist denn an meiner Rechnung eigentlich falsch?

01.01.2013, 02:03

Helferlein

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Du veränderst den Term durch das Wurzelziehen.
Abschätzen heisst einen Term durch einen anderen zu ersetzen, der je nach Fragestellung immer größer oder kleiner ist.

01.01.2013, 11:41

Mystic

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RE: Grenzwert von n^2/3^n

Zitat:

Original von Hansaflug
Ich habe z.B. An mit Wurzel von n genommen, und dann kommt:
n^(2/n) / 3
Weil (2/n) ja gegen 0 läuft, heisst es dann n^0/3 = 1/3.
Aber 1/3 ist ja nicht der Grenzwert, wo liegt mein Fehler?

Die Originalfolge ist ja

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n^2}{3^n} \end{eqnarray*}$

du betrachtest aber statt dessen eine ganz andere Folge, nämlich

$\begin{eqnarray*} a'_n=\sqrt[n]{a_n}=\frac{n^{2/n}}3 \end{eqnarray*}$

Des weiteren lässt du in $\begin{eqnarray*} n^{2/n} \end{eqnarray*}$ nur den Exponenten gegen 0 gehen, beachtest aber nicht, dass zugleich die Basis n parallel dazu gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht... Tatsächlich geht das wirklich gegen 1, aber so einfach wie bei dir ist das nicht zu sehen...

Für die usprüngliche Folge gilt nun

$\begin{eqnarray*} a_n={a'_n}^n \end{eqnarray*}$

d.h., wenn $\begin{eqnarray*} a'_n \to 1 \end{eqnarray*}$ gilt, hat man insgesamt eine unbestimmte Form der Gestalt $\begin{eqnarray*} 1^\infty \end{eqnarray*}$ , wo bekanntlich alles dabei herauskommen kann, insbesondere auch der richtige Wert hier, nämlich 0...

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