Rechnen mit Restklassen |
01.01.2013, 13:27 | Tita | Auf diesen Beitrag antworten » |
Rechnen mit Restklassen Die Aufgaben lauten: a) 2x -4 0 mod 5 b) 2x-4 0 mod 6 c) x²+1 0 mod 6 d) x³-1 0 mod 7 Meine Ideen: Ich habe folgendes gefunden: Zu a) x 2 mod 5 Stimmt das? Oder hat die Restklasse keine Lösung? zu b) x 5 mod 6 zu c) keine Lösung zu d) x 2 mod 7 Kann jemand meine Lösungen überprüfen? Gibt es noch weitere Lösungen? LG Tita |
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01.01.2013, 13:42 | Monoid | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Rechnen mit Restklassen Zu a) Man die Kongruenz über Reste definieren. Weißt was ich damit meine? Das hier: a hat bei der Division durch c den selben Rest wie b bei der Division von b durch c. Jetzt kannst du eine Gleichung aufstellen.... |
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02.01.2013, 10:33 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Rechnen mit Restklassen Du hast in a) und b) zweimal die gleiche Kongruenz , aber für verschiedene Moduln... Da dieser in a) zu 2 teilerfremd, in b) aber nicht zu 2 teilerfremd ist, sind die Lösungswege grundsätzlich verschieden: ad a) Wegen ggT(2,5)=1 existiert zu 2 ein Inverses mod 5 (wie immer das auch aussieht!), und wenn man die Kongruenz mit diesem multipliziert erhält man was dann auch die Lösung ist... De facto wurde also durch 2 gekürzt (ohne Einbeziehung des Moduls!)... ad b) Hier musst du die Kongruenz zuerst als Gleichung (mit einem unbekannten ganzen k) anschreiben, diese durch 2 kürzen und anschließend die Gleichung wieder als Kongruenz anschreiben... Die facto wurde also durch 2 gekürzt, aber diesmal mit Einbeziehung des Moduls... |
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02.01.2013, 15:52 | Tita | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für Eure Hilfe Ich habe in der VL ein einfaches Schema gelernt: Man rechnet mit einer Tabelle die Restklasse aus. zu a) x 2x-4 0 -4 1 -2 2 0 3 2 4 4 Dann schaut man sich die Ergebnisse (hier: -4,-2, 0, 2, 4) an und überlegt welches Ergebnis ein Vielfaches von dem Modulo (5) ist. Die 0 ein Vielfaches von der 5. Damit ist die Lösung: zu b) x 2x-4 0 -4 1 -2 2 0 3 2 4 4 5 6 Hier schaut man sich auch die Ergebnisse an ( hier: -4,-2, 0, 2, 4, 6) an und überlegt welches Ergebnis ein Vielfaches von dem Modulo (6) ist. Die 0 und die 6 sind Vielfache von der 6 . Damit ist die Lösung: und zu c) x x²+1 0 1 1 2 2 5 3 10 4 17 5 26 Hier schaut man sich auch die Ergebnisse an ( hier: 1, 2, 5, 10, 17, 26) an und überlegt welches Ergebnis ein Vielfaches von dem Modulo (6) ist. Es gibt keine Vielfache. Damit gibt es keine Lösung. zu d) x x³-1 0 -1 1 0 2 7 3 26 4 63 5 124 6 215 Hier schaut man sich auch die Ergebnisse an ( hier: -1, 0, 7, 26, 63, 124, 215) an und überlegt welches Ergebnis ein Vielfaches von dem Modulo (7) ist. Die 0 und die 7 sind Vielfache von der 7. Damit ist die Lösung: und Kann mir jemand sagen, ob die Lösungen stimmen? Danke! Liebe Grüße Tita |
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02.01.2013, 16:20 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » |
Naja, numerisch stimmen die Lösungen weitgehend, aber das ist jetzt mehr ein Probieren als ein Rechnen... Rechnerisch geht es so: a) b) c) Wäre lösbar, dann wäre auch lösbar, was aber nicht der Fall ist (generell nicht für Primzahlen p der Form 4k+3)... d) Daraus kann man schon eine Lösung, nämlich ablesen... Die weiteren erhält mn durch LÖsen der quadratischen Gleichung mittels der p-q-Formel Hier hast du also eine Lösung übersehen... Dabei gilt also ist der Radikand und durch Einsetzen erhält man bzw. |
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