Rechnen mit Restklassen

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Tita Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnen mit Restklassen
Meine Frage:
Die Aufgaben lauten:

a) 2x -4 0 mod 5

b) 2x-4 0 mod 6

c) x²+1 0 mod 6

d) x³-1 0 mod 7



Meine Ideen:
Ich habe folgendes gefunden:

Zu a) x 2 mod 5

Stimmt das? Oder hat die Restklasse keine Lösung?

zu b) x 5 mod 6

zu c) keine Lösung

zu d) x 2 mod 7


Kann jemand meine Lösungen überprüfen? Gibt es noch weitere Lösungen?

LG Tita smile
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Restklassen
Zu a)

Man die Kongruenz über Reste definieren. Weißt was ich damit meine? Das hier: a hat bei der Division durch c den selben Rest wie b bei der Division von b durch c.

Jetzt kannst du eine Gleichung aufstellen....
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Restklassen
Du hast in a) und b) zweimal die gleiche Kongruenz , aber für verschiedene Moduln... Da dieser in a) zu 2 teilerfremd, in b) aber nicht zu 2 teilerfremd ist, sind die Lösungswege grundsätzlich verschieden:

ad a) Wegen ggT(2,5)=1 existiert zu 2 ein Inverses mod 5 (wie immer das auch aussieht!), und wenn man die Kongruenz mit diesem multipliziert erhält man



was dann auch die Lösung ist... De facto wurde also durch 2 gekürzt (ohne Einbeziehung des Moduls!)...

ad b) Hier musst du die Kongruenz zuerst als Gleichung (mit einem unbekannten ganzen k) anschreiben, diese durch 2 kürzen und anschließend die Gleichung wieder als Kongruenz anschreiben... Die facto wurde also durch 2 gekürzt, aber diesmal mit Einbeziehung des Moduls...
Tita Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für Eure Hilfe smile

Ich habe in der VL ein einfaches Schema gelernt:
Man rechnet mit einer Tabelle die Restklasse aus.

zu a)


x 2x-4
0 -4
1 -2
2 0
3 2
4 4

Dann schaut man sich die Ergebnisse (hier: -4,-2, 0, 2, 4) an und überlegt welches Ergebnis ein Vielfaches von dem Modulo (5) ist.

Die 0 ein Vielfaches von der 5. Damit ist die Lösung:


zu b)


x 2x-4
0 -4
1 -2
2 0
3 2
4 4
5 6

Hier schaut man sich auch die Ergebnisse an ( hier: -4,-2, 0, 2, 4, 6) an und überlegt welches Ergebnis ein Vielfaches von dem Modulo (6) ist.

Die 0 und die 6 sind Vielfache von der 6 . Damit ist die Lösung: und


zu c)

x x²+1
0 1
1 2
2 5
3 10
4 17
5 26

Hier schaut man sich auch die Ergebnisse an ( hier: 1, 2, 5, 10, 17, 26) an und überlegt welches Ergebnis ein Vielfaches von dem Modulo (6) ist.

Es gibt keine Vielfache. Damit gibt es keine Lösung.


zu d)

x x³-1
0 -1
1 0
2 7
3 26
4 63
5 124
6 215

Hier schaut man sich auch die Ergebnisse an ( hier: -1, 0, 7, 26, 63, 124, 215) an und überlegt welches Ergebnis ein Vielfaches von dem Modulo (7) ist.

Die 0 und die 7 sind Vielfache von der 7. Damit ist die Lösung: und


Kann mir jemand sagen, ob die Lösungen stimmen? verwirrt
Danke!

Liebe Grüße Tita
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, numerisch stimmen die Lösungen weitgehend, aber das ist jetzt mehr ein Probieren als ein Rechnen... Rechnerisch geht es so:

a)

b)

c) Wäre



lösbar, dann wäre auch



lösbar, was aber nicht der Fall ist (generell nicht für Primzahlen p der Form 4k+3)...

d)

Daraus kann man schon eine Lösung, nämlich ablesen... Die weiteren erhält mn durch LÖsen der quadratischen Gleichung



mittels der p-q-Formel



Hier hast du also eine Lösung übersehen...

Dabei gilt



also ist der Radikand



und durch Einsetzen erhält man

bzw.
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