Taylerentwicklung in mehreren Dimensionen

01.01.2013, 15:10	AmazingSam	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylerentwicklung in mehreren Dimensionen Hallo zusammen, stehe hier gerade vor einer Aufgabe wo ich nicht wirklich weiter weiß: a) Geben Sie die Taylorreihe für die Funktion $\begin{eqnarray} g(x,y)=e^xsiny \end{eqnarray}$ an. Berechnen Sie explizit alle Terme bis einschließlich dritter Ordnung. b) Berechnen Sie für folgende Funktionen die Taylorentwicklung um den Nullpunkt bis zur zweiten Ordnung. (i) $\begin{eqnarray} f(x,y)=e^-(x+y)^2 \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{1+xy}} \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: Um bei der a) die Ableitungen zu berechnen würde ich mit der Produktregel vorgehen. g´(x,y) $\begin{eqnarray} =e^ysiny+e^xsiny=2e^xsiny \end{eqnarray}$ g´(x,y) $\begin{eqnarray} =e^xsiny+e^xcosy=e^x(siny+cosy) \end{eqnarray}$ g´´(x,y) $\begin{eqnarray} =2e^xsiny+2e^xsiny=4e^xsiny \end{eqnarray}$ g´´(x,y) $\begin{eqnarray} =e^x(siny+cosy)(cosy-siny)=e^xcos(2y) \end{eqnarray}$ Jetzt kommt die Kreutzableitung, wo ich mir nicht wirklich sicher bin ob, ich das richtig gemacht habe: g´´(x,y) $\begin{eqnarray} =2e^xsiny+2e^xcosy=2e^x(siny+cosy) \end{eqnarray}$ Keine Ahnung, wie ich $\begin{eqnarray} e^x(siny+cosy) \end{eqnarray}$ nach x ableiten soll . g´´´(x,y) $\begin{eqnarray} =4e^xsiny+4e^xsiny=8e^xsiny \end{eqnarray}$ g´´´(x,y) $\begin{eqnarray} =e^xcos(2y)-2e^xsin(2y)<br /> =e^x(-2sin(2y)+cos(2y) \end{eqnarray*}$ Ist das bis hirhin soweit richtig . Zudem bin ich mir nicht sicher was ich jetzt für die Kreuzableitung nehmen muss? Muss ich die 2 Ableitung, die ich nach x abgeleitet habe nach y ableiten und die 2. Ableitung, die ich nach y abgeleitet habe nach x ableiten??? Danke schonmal im voraus für jegliche Hilfe

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