Stetigkeit von Funktionen, epsilon-delta

01.01.2013, 16:42	millimaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Funktionen, epsilon-delta Meine Frage: Hallo, Ich muss einige Funktionen auf ihre Stetigkeit untersuchen. Eigentlich dachte ich, ich hätte das Grundprinzip verstanden, aber jetzt wo ich es selbst beweisen soll, versteh ich irgendwie gar nichts mehr. ich habe folgende Funktionen gegeben: f: R->R, x = 2x^4-2 g: R->R, X = 2-(2/(\|x²-1\|+1)) Meine Ideen: der einzige Lösungsweg der mir einfällt ist der Epsilon-Delta-Beweis, oder gibt es da noch eine simplere Möglichkeit? Definition der Stetigkeit ist ja: für alle \|f(x)-f(x0)\|<? gibt es \|x-x0\|<d dann habe ich einfach eingesetzt: \|(2x^4-2)-(2x0^4-2)\|<? das habe ich dann umgeformt zu: \|2*(x^4-x0^4)\|<? aber ab da weiss ich einfach nicht mehr was ich machen muss... wie bring ich das ganze mit dem delta in verbindung und vorallem wie werd ich aus der ungleichung, die ich jetzt grad da stehen hab, schlau? wäre super lieb wenn mir jemand helfen könnte!
02.01.2013, 13:13	bensa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi millimaus, diese beiden Sätze sollten dir helfen: Satz1: Seien $\begin{eqnarray} f, g \end{eqnarray}$ stetige Funktionen mit $\begin{eqnarray} f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ dann sind folgende Funktionen auch stetig: $\begin{eqnarray} f + g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f \cdot g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ (diese funktionen sind elementeweise definiert, denke du hast diese def. schonmal gesehen oder ?) Das heißt zum beispiel wenn ich die stetigen Funktionen $\begin{eqnarray} f(x) = x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x) = x \end{eqnarray}$ habe, ist auch $\begin{eqnarray} (f \cdot g )(x) = x^2 \end{eqnarray}$ stetig. Satz2 (kurz): Komposition stetiger Funktionen sind wieder stetig. (siehe hier für den Begriff Komposition http://de.wikipedia.org/wiki/Komposition_%28Mathematik%29) Beste grüße bensa
03.01.2013, 20:21	Milimaus	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank für die antwort! nur so weit komm ich leider noch nicht mal! ich muss ja erst beweisen, dass f und g beide stetig sind und hab keine ahnung wie ich da vorgehen soll... :/
04.01.2013, 21:42	milimaus	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir denn niemand weiterhelfen? bitte bitte bitte
07.01.2013, 11:42	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Du könntest zeigen, dass $\begin{eqnarray} p(x)=x^4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r(x)=2 \end{eqnarray}$ stetig sind. Damit wäre dann auch $\begin{eqnarray} f(x)=2x^4-2 \end{eqnarray}$ stetig. Zu r(x): Mit dem Epsilon-Delta-Kriterium ergibt sich $\begin{eqnarray} \|r(x)-r(x_0)\|=\|2-2\|=\|0\|=0<\epsilon \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|x-x_0\|<\delta(\epsilon) \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ per Definition größer 0 ist, gilt die erste Ungleichung auf jeden Fall. D.h. für jedes $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ ist die Ungleichung erfüllt. Also ist die Funktion stetig in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ und damit in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Das gleiche kannst du jetzt mal für $\begin{eqnarray} p(x)=x^4 \end{eqnarray}$ probieren (kleiner Tipp: $\begin{eqnarray} x^4=x\cdot x\cdot x\cdot x \end{eqnarray}$ . Du musst also nur die Stetigkeit von x beweisen.). Du setzt also in die erste Ungleichung ein, und suchst dann ein $\begin{eqnarray} \delta(\epsilon) \end{eqnarray}$ , für das diese Ungleichung erfüllt ist. Das muss nicht unbedingt das kleinstmögliche sein. Es sollte das sein, das man am einfachsten rausfinden kann.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »