Ableitung e-Funktion (die 3.)--> Quotienten- u. Kettenregel

01.01.2013, 16:50

-ABC-

Auf diesen Beitrag antworten »

Ableitung e-Funktion (die 3.)--> Quotienten- u. Kettenregel

Hiho,

wie in meinen bereits vorangegangenen Topics geht es um das Ableiten verschiedener Funktionen mit "e" und einem Parameter. Mittlerweile habe ich ja schon einiges dazu gelernt, bin aber immer noch unsicher - gerade auch bei der folgenden Aufgabe. smile

smile

Folgende Funktion soll 2x abgeleitet werden:

$\begin{eqnarray*} f_{k}(t)=\frac{1-(1+k*t)*e^{-k*t}}{k^2} \end{eqnarray*}$

Das erste Ableitung sollte dann einer Funktion entsprechen, die man mittels Produkt- und Kettenregel lösen kann: $\begin{eqnarray*} f'_{k}(t)=t*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

Soweit bin ich jedoch noch nicht. Ersteinmal stelle ich die einzelnen Ableitungen dar, bei denen ich mir hier schon unsicher bin:

$\begin{eqnarray*} u=1-(1+k*t)*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=-k*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$
(hier (u') müsste der gesamte Klammerausdruck, sowie die der Wert vor der Klammer verschwinden)

$\begin{eqnarray*} v=k^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=- \end{eqnarray*}$
(hier (v') müsste komplett wegfallen, da $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ja ein Parameter ist, der potenziert wird und keiner Variable entspricht, bei der man den Exponenten als Koeffizienten schreibt und um eins verringert.)

Ich würde mich sehr über Feedback freuen!

Danke!

MfG
-ABC-

01.01.2013, 17:08

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung e-Funktion (die 3.)--> Quotienten- u. Kettenregel
Wenn $\begin{eqnarray*} u=1-(1+k*t)*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$ dann würde ich erstmal ausmultiplizieren und anschließend differenzieren. smile

smile

01.01.2013, 17:10

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Das passt bei dir nicht so ganz.
Du nimmst ein Produkt als u(x) und vergisst die Produktregel bei u'(x).

Beachte wieder, nach was wir ableiten. Wir leiten nach t ab. Demnach ist der Nenner "egal".

Mal ein Vorschlag das anders aufzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} f_{k}(t)=\frac{1}{k²}(1-(1+k*t)*e^{-k*t}) \end{eqnarray*}$

Ich würde sogar einen Schritt weitergehen und ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} f_{k}(t)=\frac{1}{k²}-\frac{1}{k²}(1+k*t)*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

Bei der Ableitung sollte dir nun folgendes auffallen: Der erste Summand entfällt,
beim zweiten Summanden kann man für die Ableitung selbst den Faktor 1/k² fürs erste ignorieren (aber nicht vergessen!).

Edit: Da wurde meins etwas länglicher^^. Deiner.

01.01.2013, 17:56

-ABC-

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure beiden Antworten, Cheftheoretiker und Equester!

Allerdings bin ich gerade ziemlich verwirrt. Ich wusste, dass mir die Aufgabe nicht gefallen würde. unglücklich

unglücklich

In Kürze werde ich mich an die Ableitung machen. Dies hier war im übrigen der Weg, so wie er im Buch dokumentiert ist:

$\begin{eqnarray*} f'_{k}(t)=\frac{-k*e^{-k*t}-(1+k*t)*(-k)*e^{-k*t}}{k^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_{k}(t)=\frac{-k*e^{-k*t}+k*e^{-k*t}+k^2*t*e^{-k*t}}{k^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_{k}(t)=t*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

01.01.2013, 18:41

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke mal du willst die Aufgabe per Quotientenregel lösen? verwirrt

verwirrt

Fall ja dann gilt für die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2} \end{eqnarray*}$

Demnach wählen wir $\begin{eqnarray*} u=1-(1+k*t)*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$ und nun würde ich erstmal $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ bilden und dazu solltest du erstmal ausmultiplizieren. smile

smile

01.01.2013, 18:47

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, wenn ich nochmals mitmische,

aber der Weg über die Quotientenregel ist so unnötig wie umständlich, dass ich den -ABC- gleich
davon abbringen würde Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Wink

Anzeige

01.01.2013, 18:49

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Klar ist das umständlich. Big Laugh

Big Laugh

Ich dachte aber da in der Überschrift Quotienten und Kettenregel steht soll es damit auch gelöst werden. smile

smile

Ich glaube da sollte sich -ABC- noch einmal zu Wort melden.

01.01.2013, 18:59

-ABC-

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch beiden, für eure rege Teilnahme! smile

smile

Es stimmt! Die Aufgabe soll mittels Quotienten- und Kettenregel, wie Cheftheoretiker richtig anmerkte, gelöst werden. Der Hintergrund ist der, dass ich anderen Kursteilnehmern das Ableiten anhand einer Aufgabe mit gebrochenrationalem Term, Exponentialfunktion mit "e", und Parameter erklären soll (besonders lustig, wenn man es selber nicht mal kann! Hammer

Hammer

). Ich habe mich nach einer passenden Aufgabe (bei der zur Kontrolle nach Möglichkeit eine Lösung vorhanden ist) fast tot gesucht und war dankbar endlich eine gefunden zu haben.

Abgesehen von dieser Aufgabenstellung bin ich natürlich auch an einem "einfacheren" Lösungsweg interessiert.

01.01.2013, 19:19

-ABC-

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cheftheoretiker
Ich denke mal du willst die Aufgabe per Quotientenregel lösen? verwirrt

verwirrt

Fall ja dann gilt für die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2} \end{eqnarray*}$

Demnach wählen wir $\begin{eqnarray*} u=1-(1+k*t)*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$ und nun würde ich erstmal $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ bilden und dazu solltest du erstmal ausmultiplizieren. smile

smile

Müsste $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ demnach $\begin{eqnarray*} u'=e^{-k*t}+k*t*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$ sein? Die "1-" habe ich jetzt weggelassen, da Absolutglied. Oder passiert da etwas anderes?

01.01.2013, 19:44

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt so nicht. Multiplizier doch erstmal $\begin{eqnarray*} u=1-(1+k*t)*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$ aus und dann schauen wir weiter. smile

smile

01.01.2013, 20:12

-ABC-

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cheftheoretiker
Das stimmt so nicht. Multiplizier doch erstmal $\begin{eqnarray*} u=1-(1+k*t)*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$ aus und dann schauen wir weiter. smile

smile

Hmm. Müsste $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} u=1-(e^{-k*t}+k*e^{-k*t}*t*e^{-k*t}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u=1-e^{-k*t}-k*(-e^{-k*t})*(-t)*(-e^{-k*t})) \end{eqnarray*}$

sein?
Ich stehe etwas auf dem Schlauch. unglücklich

unglücklich

01.01.2013, 20:29

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nein.

Wenn du zum Beispiel: $\begin{eqnarray*} a(b+cd) \end{eqnarray*}$ hast, dann wäre dies $\begin{eqnarray*} ab+acd \end{eqnarray*}$ . Jetzt nochmal! smile

smile

01.01.2013, 20:42

-ABC-

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cheftheoretiker
Leider nein.

Wenn du zum Beispiel: $\begin{eqnarray*} a(b+cd) \end{eqnarray*}$ hast, dann wäre dies $\begin{eqnarray*} ab+acd \end{eqnarray*}$ . Jetzt nochmal! smile

smile

Ich habe es befürchtet. unglücklich

unglücklich

Aber damit wir uns richtig verstehen (eigentlich hast du das schon durch deine Struktur vorgegeben), ordne ich erst mal die Buchstaben den einzelnen Werten (ganz kleinschrittig) zu:

$\begin{eqnarray*} a=e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a(b+cd)=e^{-k*t}*(1+k*t) \end{eqnarray*}$

Nun berechnet:

$\begin{eqnarray*} ab+acd=e^{-k*t}+k*t*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

Ist das so besser?

01.01.2013, 20:55

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, dass wäre schonmal richtig. smile

smile

Nun haben wir $\begin{eqnarray*} u=1-\left(e^{-kt}+kte^{-kt}\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt nur noch die $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ verarbeiten und dann haben wir $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . smile

smile

01.01.2013, 21:07

-ABC-

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cheftheoretiker
Jap, dass wäre schonmal richtig. smile

smile

Nun haben wir $\begin{eqnarray*} u=1-\left(e^{-kt}+kte^{-kt}\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt nur noch die $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ verarbeiten und dann haben wir $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . smile

smile

Okay, immerhin ein Lichtschimmer am Horizont. Big Laugh

Big Laugh

Aber ist das jetzt eine positive oder eine negative "1"? Für mich sieht das so aus, als ob sich lediglich die Vorzeichen tauschen und die 1 somit wegfällt.

Könnte entsprechend: $\begin{eqnarray*} u=-e^{-kt}-kte^{-kt} \end{eqnarray*}$ das Ergebnis sein?

01.01.2013, 21:09

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, dass ist auch korrekt. smile

smile

Demnach haben wir für $\begin{eqnarray*} u=1-e^{-kt}-kte^{-kt} \end{eqnarray*}$

Nun wird differenziert, wie lautet die Ableitung? smile

smile

01.01.2013, 21:23

-ABC-

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cheftheoretiker
Jap, dass ist auch korrekt. smile

smile

Demnach haben wir für $\begin{eqnarray*} u=1-e^{-kt}-kte^{-kt} \end{eqnarray*}$

Nun wird differenziert, wie lautet die Ableitung? smile

smile

Hurra, ich habe schon mit dem Schlimmsten gerechnet. Big Laugh

Big Laugh

Wobei die 1 ja scheinbar doch erhalten geblieben ist. Aber gut, es ist ja eine Summe.

Nun graut mir aber doch vor der Ableitung:
$\begin{eqnarray*} u'=-(-k)*e^{-k*t}-(-k)*k*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=k*e^{-k*t}+k^2*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=(k+k^2)*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

1.000 Möglichkeiten um in eine Falle zu treten.

01.01.2013, 21:32

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Part sieht gut aus

$\begin{eqnarray*} u'=-(-k)*e^{-k*t}-(-k)*k*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

Allerdings bei $\begin{eqnarray*} -kte^{-kt} \end{eqnarray*}$ musst du mit der Produktregel und Kettenregel arbeiten. smile

smile

01.01.2013, 21:46

-ABC-

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cheftheoretiker
Der erste Part sieht gut aus

$\begin{eqnarray*} u'=-(-k)*e^{-k*t}-(-k)*k*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

Allerdings bei $\begin{eqnarray*} -kte^{-kt} \end{eqnarray*}$ musst du mit der Produktregel und Kettenregel arbeiten. smile

smile

Wie mache ich das denn? Brauche ich da ne zusätzliche Bezeichnung zu "u" und "v"? :\

04.01.2013, 22:59

-ABC-

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gehts denn mit der Produkt- und Kettenregel weiter? Mir erschließt sich das gegenwärtig nicht... . unglücklich

unglücklich

05.01.2013, 16:32

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist wohl ein wenig untergegangen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Ja, da braucht es ein zweites Mal die Anwendung der Regeln, weswegen ich so auf die
Alternative gedrängt hatte Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Tu mal so, als wäre das was eigenständiges und leite ab: $\begin{eqnarray*} -kte^{-kt} \end{eqnarray*}$

06.01.2013, 01:36

-ABC-

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
Das ist wohl ein wenig untergegangen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Ja, da braucht es ein zweites Mal die Anwendung der Regeln, weswegen ich so auf die
Alternative gedrängt hatte Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Tu mal so, als wäre das was eigenständiges und leite ab: $\begin{eqnarray*} -kte^{-kt} \end{eqnarray*}$

Danke für deine Antwort, Equester.

Du hast sicherlich ohne Frage recht. Nur brauchte ich halt eine Funktion (mir war quasi jede recht), die die o.g. Bedingungen von mir erfüllte und die sich mit Quotienten- und Kettenregel lösen lässt.

Bezüglich des Terms müsste dann ja gelten: $\begin{eqnarray*} -k*t*e^{-k*t} -> -k*t*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=-k*t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=-k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=e^{-k*t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=-k*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

Das ganze dann zusammengesetzt nach der Produktregel:
$\begin{eqnarray*} -k*e^{-k*t}+(-k*t)*(-k*e^{-k*t}) \end{eqnarray*}$

Dann faktorisiert:
$\begin{eqnarray*} -k-k*t*(-k*e^{-k*t}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -k+k^2*t*(e^{-k*t}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-k+k^2*t)*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

Kann das sein? Bzw. wo ist schon wieder der Fehler? *g*

06.01.2013, 03:08

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Die vorletzte und drittletzte Zeile passen nicht. Da hast du falsch geklammert.
Doch passt der Rest (also auch die letzte Zeile Augenzwinkern

Augenzwinkern

).
Bei den beiden Zeilen hast du den ersten Summanden nicht an das k gekettet Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Mir hätte es übrigens besser gefallen, hättest du sie nicht wieder u und v genannt,
was es jetzt schwieriger macht, darüber zu reden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Also das ursprüngliche u lautet ja:
$\begin{eqnarray*} u=1-e^{-kt}-kte^{-kt} \end{eqnarray*}$

Interessiert sind wir nun an u'.
Dafür hast du ja das (neue) u' für den letzten Summanden schon ausgerechnet.

Es ergibt sich also insgesamt für u':

$\begin{eqnarray*} u'=ke^{-kt}+(-k+k^2*t)*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$

(Der erste Summand kommt ja aus der Ableitung des zweiten Summanden von u.)
Du kannst also das u' ingesamt zu
$\begin{eqnarray*} u'=k²te^{-kt} \end{eqnarray*}$
zusammenfassen.

Nun hast du alles was du für die Quotientenregel brauchst.

Klar? smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »