[erledigt] Erwartungswert des Dirac-Maßes

01.01.2013, 21:04

matze(2)

[erledigt] Erwartungswert des Dirac-Maßes

Hallo,

sei $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \sim \delta _t \end{eqnarray*}$ eine reelle Zufallsvariable, die nach dem Dirac-Maß verteilt ist.
(Meines Verständnisses nach heißt das mit anderen Worten $\begin{eqnarray*} X : \mathbb R \to \mathbb R ; \omega \mapsto \begin{cases} 1 & \text{wenn }t=\omega\\ 0 &\text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ )

Jetzt möchte ich gerne den Erwartungswert ausrechnen.

Mein Ansatz:
Meiner Meinung nach ist der Wertebereich $\begin{eqnarray*} W_X = \{ t \} \end{eqnarray*}$
Also denke ich, dass der Erwartungswert gleich $\begin{eqnarray*} t \cdot P[X=t] = t \cdot 1 = t \end{eqnarray*}$ ist. Stimmt das alles?

Viele Grüße
Matthias

Edit 1:
Neueren Überlegungen zufolge ist das falsch. Nämlich $\begin{eqnarray*} W_X = \{0, 1\} \end{eqnarray*}$ .
Und dann $\begin{eqnarray*} E[X]= 0 \cdot P[X = 0] + 1 \cdot P[X = 1] = P[X = 1] = P[\{t\}] \end{eqnarray*}$

Edit 2:
Hieraus würde dann auch $\begin{eqnarray*} E[\delta _t] = E[1_{\{t\}}] \end{eqnarray*}$ folgen, oder? Macht das anschaulich Sinn?

01.01.2013, 22:22

Che Netzer

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RE: Erwartungswert des Dirac-Maßes

Zitat:

Original von matze(2)
(Meines Verständnisses nach heißt das mit anderen Worten $\begin{eqnarray*} X : \mathbb R \to \mathbb R ; \omega \mapsto \begin{cases} 1 & \text{wenn }t=\omega\\ 0 &\text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ )

Nein, das heißt eher, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit Wahrscheinlichkeit Eins den Wert $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ annimmt.
Der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist ja irgendein Wahrscheinlichkeitsraum, da ist der Vergleich $\begin{eqnarray*} t=\omega \end{eqnarray*}$ nicht möglich.

Der Wertebereich von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kann ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein, das interessiert aber gar nicht.

02.01.2013, 00:42

matze(2)

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RE: Erwartungswert des Dirac-Maßes
Hallo,

also heißt das, (womit ich "Sei $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \sim \delta _t \end{eqnarray*}$ eine reelle Zufallsvariable, die nach dem Dirac-Maß verteilt ist." meine,) dass $\begin{eqnarray*} P \circ X^{-1} = \delta _t : \mathcal B (\mathbb R) \to [0,1] ; A \mapsto \begin{cases} 1 & \text{wenn }t \in A\\ 0 &\text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ ?

Ist $\begin{eqnarray*} W_X \end{eqnarray*}$ jede Menge $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in W \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Ist $\begin{eqnarray*} E[X] = t \end{eqnarray*}$ ?

Viele Grüße, Matthias

02.01.2013, 11:03

Che Netzer

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RE: Erwartungswert des Dirac-Maßes
Ja, jetzt stimmt alles, wobei der Wertebereich von Zufallsvariablen aber eigentlich nicht interessieren kann, der kann theoretisch für jede Verteilung ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein.

02.01.2013, 17:02

matze(2)

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RE: Erwartungswert des Dirac-Maßes
Super, vielen Dank! Freude

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