Grenzwert berechnen

02.01.2013, 00:16

michaelKonrad

Grenzwert berechnen

Guten Abend smile

Was ist der Grenzwert von:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n} - \sqrt{n-1} \end{eqnarray*}$

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n} = n^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Ich bin mir nicht mehr ganz sicher wie, aber man kann doch auch das n aus der Wurzel herausziehen, also:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n} = n^2 \cdot \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

Aber das kann ja nicht stimmen, wie funktioniert das Herausziehen?

Danke smile

02.01.2013, 00:20

watcher

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Gute Nacht,

der ist hier den Term so zu erweiteren, dass man die 3. binomische Formel anwenden kann.

(also mit etwas von der Form $\begin{eqnarray*} \frac{a}{a} \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren.)

Zitat:

Aber das kann ja nicht stimmen,

Richtige Erkenntnis.

02.01.2013, 00:20

Mulder

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RE: Grenzwert berechnen
Betrachte das ganze als einen Bruch

$\begin{eqnarray*} \frac {\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{1} \end{eqnarray*}$

und erweitere so, dass du im Zähler die 3. binomische Formel anwenden kannst.

02.01.2013, 00:49

michaelKonrad

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RE: Grenzwert berechnen
Vielen Dank, für eure Antworten smile

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{n} - \sqrt{n-1}) \cdot (\sqrt{n} + \sqrt{n-1}) }{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}} = \frac{-1}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich schon sagen, dass dies gegen 0 konvergiert, oder?
Oder muss ich den Nenner noch umformen?

Vielen Dank smile

02.01.2013, 02:01

Mathe-Maus

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RE: Grenzwert berechnen
@Mulder: Hast pn. ... und wieder weg.

02.01.2013, 02:03

Mulder

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RE: Grenzwert berechnen
Du hast einen Vorzeichenfehler im Zähler.

Der hat zwar keinen Einfluss auf den Grenzwert (der in derTat 0 ist), aber trotzdem solltest du dir das nochmal anschauen.

02.01.2013, 11:14

michaelKonrad

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RE: Grenzwert berechnen
Ehrlich? geschockt

Ich habe im Zähler die 3. binomische Formel angewandt, also:

$\begin{eqnarray*} (a-b)(a+b) = (\sqrt{n} - \sqrt{n-1}) \cdot (\sqrt{n} + \sqrt{n-1}) = n - n - 1 = -1 \end{eqnarray*}$

Ich sehe den Fehler nicht verwirrt

02.01.2013, 11:24

10001000Nick1

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RE: Grenzwert berechnen
Du hast eine Klammer vergessen:
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\cdot (\sqrt{n}+\sqrt{n-1}) = n - (n-1) = n-n+1 =1 \end{eqnarray*}$

02.01.2013, 11:37

michaelKonrad

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RE: Grenzwert berechnen
Hey 10001000Nick1 smile

Und woher kommt diese Klammer?
Aus der Wurzel?

02.01.2013, 11:48

10001000Nick1

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In der Wurzel steht ja der gesamte Term: n-1. Also muss man auch den gesamten Term in der Binomischen Formel subtrahieren.Deswegen braucht man da eine Klammer.

02.01.2013, 13:41

michaelKonrad

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Dankeschön jetzt habe ich es verstanden smile

Ein letztes Beispiel noch:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{14n^2+10^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{14n^2+10^n} = (14n^2 + 10^n)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Wenn n nun gegen unendlich läuft dann müsste der Exponent 1/n doch gegen 0 gehen und somit das Ganze gegen 1 laufen?

02.01.2013, 14:56

10001000Nick1

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Nein. Wenn n sehr groß wird, kann man in der Wurzel $\begin{eqnarray*} 14n^2 \end{eqnarray*}$ vernachlässigen, weil $\begin{eqnarray*} 10^n \end{eqnarray*}$ viel schneller "wächst". Also: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{14n^2+10^n} =... \end{eqnarray*}$

Edit Equester:
Es ist Aufgabe des Fragestellers das herauszufinden. Du wirst gebeten Hilfestellung zu leisten Augenzwinkern

.
Siehe auch http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=879.
Komplettlösung entfernt.

02.01.2013, 15:09

michaelKonrad

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Erstmal vielen Dank smile

Aber das verstehe ich leider nicht :/

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (42)^{\frac{1}{n}} = 1 \end{eqnarray*}$

Das ist doch richtig?

Warum gilt das jetzt nicht, wenn sich Variablen in der Klammer befinden?

02.01.2013, 15:23

10001000Nick1

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Bei dem letzten Beispiel verändert sich ja der Radikand nicht. Dafür wird der Wurzelexponent immer größer.
Bei $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{14n^2+10^n} \end{eqnarray*}$ wird zwar der Wurzelexponent immer größer, dafür aber auch der Radikand. Deswegen sind die Grenzwerte unterschiedlich.
Ich hoffe, du hast es jetzt verstanden.

02.01.2013, 15:59

michaelKonrad

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Aber kann mir der Radikand nicht egal sein?
Denn egal was ich hoch Null nehme, es kommt doch immer 1 raus.

Und auch wenn der Radikand gegen einen anderen Grenzwert strebt, ist das dann doch egal, weil auch hier gilt irgendetwas hoch 0 ist 1.

verwirrt

02.01.2013, 16:00

10001000Nick1

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Na eben nicht. Wenn der Radikand gegen unendlich geht, hast du als Grenzwert $\begin{eqnarray*} \infty^0 \end{eqnarray*}$ . Und da kann alles mögliche rauskommen, wie du ja oben gesehen hast

02.01.2013, 16:19

michaelKonrad

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Ahhh, okay jetzt habe ich's smile

Dankeschön 10001000Nick1 Augenzwinkern

Zitat:

Wenn n sehr groß wird, kann man in der Wurzel $\begin{eqnarray*} 14n^2 \end{eqnarray*}$ vernachlässigen, weil $\begin{eqnarray*} 10^n \end{eqnarray*}$ viel schneller "wächst".

Das heißt ich schaue mir die Radikanden an und dann betrachte ich nur den Radikand, der am schnellsten wächst?

Also zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n^4 + 6^n - n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n^4 + 6^n - n} = \sqrt[n]{6^n} = (6^n){^{\frac{1}{n}}} = 6 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

Und ist es richtig, wenn ich nur das "=" da stehen habe, oder muss ich $\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty } ... = \lim_{n \to \infty } .. = 6 \end{eqnarray*}$ schreiben?

04.01.2013, 10:52

10001000Nick1

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Tut mir leid, dass es etwas länger gedauert hat.

Also: Bei deinem Beispiel wäre es theoretisch richtig, wenn du das $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \end{eqnarray*}$ ... weglässt, das $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ stimmt dann immer noch. Aber das ist nicht immer so. Schreib also lieber $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \end{eqnarray*}$ ... immer mit hin: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n^4+6^n-n} = \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{6^n} = \lim_{n \to \infty } 6 = 6 \end{eqnarray*}$ . außerdem erkennt man dann auch besser, warum du die anderen Summanden weglässt.

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