bijektive Funktion auf eingeschränktem Wertebereich

02.01.2013, 13:35

marc_185

bijektive Funktion auf eingeschränktem Wertebereich

Meine Frage:
Ich bin gerade bei den Begriffen injektiv, surjektiv angelangt und habe folgendes Problem:

Aussage:
Habe ich eine bijektive Funktion <==> es existiert eine Umkehrfunktion.

Bsp:

f(x) = x , dann ist die Umkehrfunktion f^(-1)(x) = x.

Ich soll diese Funktion jetzt auf einem eingeschränkten Wertebereich betrachten, also z.B. zwischen -2 und 2.

Meine Ideen:
Mein Knopf ist hier:

Da zwischen -2 und 2 die Funktion f(x) = x nicht alle Werte aus y annehmen kann, ist sie nicht surjektiv.

Da sie nicht surjektiv ist, kann sie folglich auch nicht bijektiv sein.

--> es existiert keine Umkehrfunktion.

Meiner Meinung nach existiert aber eben doch eine Umkehrfunktion, einfach im eingeschränkten Intervall...

Kann mir einer auf die Sprünge helfen, was hier mein Überlegungsfehler ist?

Danke im Voraus

02.01.2013, 13:47

Che Netzer

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RE: bijektive Funktion auf eingeschränktem Wertebereich
Was genau ist denn die Aufgabe?
Sollt ihr sagen, ob bijektive Funktionen $\begin{eqnarray*} f\colon X\to Y \end{eqnarray*}$ aus eine Umkehrfunktion haben, wenn man sie auf $\begin{eqnarray*} Z\subsetneq X \end{eqnarray*}$ einschränkt?
Das hängt von den Definitionen ab, d.h. ob man den Bildbereich dann auch auf $\begin{eqnarray*} f(Z) \end{eqnarray*}$ einschränkt.

02.01.2013, 14:30

marc_185

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m zur ursprünglichen Aufgabe zu kommen muss ich ein bisschen ausholen....

Die Aufgabe war folgende:

Zeige, dass die Funktion f (-1, 1) --> R x-->x/(sqrt(1-x)) bijektiv ist.

Hierzu haben wir zuerst die Grenzwerte an den Punkten -1 und 1 bestimmt.
Da diese gegen -unendlich, resp. +unendlich gingen, wussten wir, dass die Funktion in diesem Interval mindestens surjektiv ist.

Anschliessend haben wir bewiesen , dass die Funktion streng monoton steigend ist --> injektiv

da injektiv und surjektiv --> bijektiv

ich habe dann gedanklich mit anderen Funktionen herumgespielt und versucht herauszufinden, wie das Problem zu lösen ist, wenn an den Randpunkten des betrachteten Intervalls keine so schönen Grenzwerte wie in der oberen Aufgabe auftauchen.

ich habe dann die einfache Funktion y=x genommen und dann das zu betrachtende Intervall auf (-2, 2) eingeschränkt.

da nun die y-Werte an den Randpunkten nicht gegen +/- unendlich gehen, kann die funktion nicht surjektiv sein, folglich schon gar nicht bijektiv.

da aber meiner Meinung nach eine Umkehrfunktion in diesem Intervall existiert (sie existiert ja auch im globalen Bereich) müsste sie doch eigentlich bijektiv sein.

Das ist meine Überlegung, die sich jedoch selbst widerspricht.

Ich suche jetzt nach meinem Überlegungsfehler smile

Ich hoffe ich konnte mich verständlich genug ausdrücken.... verwirrt

02.01.2013, 14:36

Che Netzer

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Zitat:

Original von marc_185
Zeige, dass die Funktion f (-1, 1) --> R x-->x/(sqrt(1-x)) bijektiv ist.

Hierzu haben wir zuerst die Grenzwerte an den Punkten -1 und 1 bestimmt.
Da diese gegen -unendlich, resp. +unendlich gingen, wussten wir, dass die Funktion in diesem Interval mindestens surjektiv ist.

Bei der Argumentation habt ihr übrigens noch die Stetigkeit benutzt.
Aber die Grenzwerte sind sowieso falsch, vermutlich hast du die Funktion falsch angegeben:

Zitat:

ich habe dann die einfache Funktion y=x genommen und dann das zu betrachtende Intervall auf (-2, 2) eingeschränkt.

da nun die y-Werte an den Randpunkten nicht gegen +/- unendlich gehen, kann die funktion nicht surjektiv sein, folglich schon gar nicht bijektiv.

Zu einer Funktion gehören immer Definitions- und Bildbereich. Wohin soll die Funktion abbilden?
Wenn du $\begin{eqnarray*} (-2,2)\to\mathbb R,x\mapsto x \end{eqnarray*}$ betrachtest, existiert keine Umkehrfunktion, für $\begin{eqnarray*} (-2,2)\to(-2,2),x\mapsto x \end{eqnarray*}$ schon.

02.01.2013, 14:44

marc_185

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entschuldigung, es fehlt das hoch 2:

f (-1, 1) --> R x-->x/(sqrt(1-x^2))

$\begin{eqnarray*} (-2,2)\to(-2,2),x\mapsto x \end{eqnarray*}$
achso, dann ist in diesem Intervall die Funktion also bijektiv?

noch eine andere Frage:
was meintest du damit, dass wir die Stetigkeit auch benutzt haben? Ist die nicht schon mit der Monotonie abgedeckt?

danke schonmal, jetzt ist es mir um einiges klarer smile

02.01.2013, 14:48

Che Netzer

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Zitat:

Original von marc_185)

$\begin{eqnarray*} (-2,2)\to(-2,2),x\mapsto x \end{eqnarray*}$
achso, dann ist in diesem Intervall die Funktion also bijektiv?

Bei dem genannten Bildbereich, ja.
Würde man den vergrößern, dann nicht mehr.
Generell kann man jede Funktion surjektiv machen, indem man ihren Bildbereich entsprechend einschränkt.

Zitat:

noch eine andere Frage:
was meintest du damit, dass wir die Stetigkeit auch benutzt haben? Ist die nicht schon mit der Monotonie abgedeckt?

Nein, z.B. ist
$\begin{eqnarray*} \mathbb R\to\mathbb R,x\mapsto\begin{cases}x&x<0\\x+1&x\geq0\end{cases} \end{eqnarray*}$
auch streng monoton geht gegen $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ , ist aber nicht stetig und auch nicht surjektiv.

02.01.2013, 14:51

marc_185

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top, jetzt ist es klar,

danke für die schnellen, klaren und kompetenten Antworten Freude

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