Grenzwert Logarithmus

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nostro1 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Logarithmus
Meine Frage:
Hallo,

ich möchte beweisen, dass gilt:



ohne dabei zu benutzen, dass (1+1/n)^n für n->unendlich gegen
e konvergiert.



Meine Ideen:
Ich habe eigentlich nur eine Idee. der Logarithmus von (1+x) mit x->0
konvergiert gegen 0. Ich würde dies nun durch eine andere Nullfolge
ersetzen. Ich würde log(1+x) einfach durch x ersetzen.
Damit gilt dann x/x=1
Ist dies so möglich?

Vielen Dank für eure Hilfe!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert Logarithmus
Zitat:
Original von nostro1
ich möchte beweisen, dass gilt:


Entweder ist da ein zu viel oder die Gleichung stimmt überhaupt nicht.

Und deine Idee kannst du nicht anwenden, d.h. du kannst nicht Folgen durch beliebige andere mit demselben Grenzwert ersetzen.
Gegenbeispiel:
nostro1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert Logarithmus
Ja, es ist ein log zuviel Augenzwinkern
Welche Möglichkeiten habe ich noch den Grenzwert zu finden? Wenn ich log(1+x) nicht durch eine andere NF ersetzen kann.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert Logarithmus
L'Hospital wäre eine Möglichkeit.
nostro1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert Logarithmus
Wir haben die L'Hospital Regeln noch nicht beweisen, von daher fallen auch diese Flach :/
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie sieht es mit einer Taylor-Entwicklung des Zählers aus?
 
 
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert Logarithmus
ne möglichkeit wäre noch die exponentialfunktion angewandt auf den grenzwert zu betrachten.
lg
nostro1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Und wie sieht es mit einer Taylor-Entwicklung des Zählers aus?


Die Taylor-Entwicklung kommt erst noch..unglücklich


Zitat:
ne möglichkeit wäre noch die exponentialfunktion angewandt auf den grenzwert zu betrachten.
lg


Wie darf ich mir das vorstellen? Nehme ich exp() von dem gesamtem Term und betrachte diesen GW? Und wie kann ich darauf was folgern?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann halt einfach die Definition der Ableitung:
nostro1 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid vllt hätte ich von anfang an meine "Werkzeuge" vorstellen sollen, ich wusste allerdings auch nciht das es derart viele Möglichkeiten gibt.
Es ist im Moment nur die Definition von exp und log bekannt! Differentialrechnung wurde noch nicht eingeführt!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wie habt ihr die beiden Funktionen denn definiert?
nostro1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Wie habt ihr die beiden Funktionen denn definiert?

a= log x
b= log y

exp(a+b)=exp(a)*exp(b)=x*y
=> a+b=log(x*y)

exp_a(x)=exp(x*log a)=a^x

exp_a(r)=a^r
expa(n/p)=a^(p/q)

Das ist alles, und dann natürlich noch die Exponentialreihe
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr habt also den Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und die Exponentialfunktion über die entsprechende Reihe definiert. Richtig?
nostro1 Auf diesen Beitrag antworten »

Jap exakt, so kann man es sagen Augenzwinkern
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann vielleicht

mit .
Dann die Reihenentwicklung einsetzen.
nostro1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, das hab ich nun versucht, aber auch nach mehreren Umformungsversuchen komme ich nicht auf das gewünschte Ergebnis.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Waren meine Umformungen noch klar?
Und wie hast du denn umgeformt?
nostro1 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Umformungen kann ich nachvollziehen. Ich habe die Reihenentwicklung verwendet. Dabei verschwand ja der erste Summand (1) und der Rest wurde durch y geteilt. Dadurch komme ich zu folgendem:
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Da würde ich eher schreiben und durch teilen, anstatt damit zu multiplizieren.
Danach kannst du wegen absoluter Konvergenz den Grenzwert in die Reihe ziehen.
nostro1 Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit "den GW in die Reihe ziehen?
Ich hab es nun nochmal ordentlich aufgeschrieben (sorry, hab grad gesehen was ich da hingeschlampt hab >.>)



Dies müsste doch bis hierhin stimmen? Hier komme ich dann nicht mehr weiter...
Ich sehe die Möglichkeit 1/y in die Summe hinein zu ziehen, allerdings habe ich dann keine exp Funktion mehr, man kann danach zwar noch die Indizes verschieben, aber wie man was brauchbares findet weiß ich nicht :/
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du dürftest dann auf kommen.
Da ja betrachtet wird, ist hoffentlich klar, was ich mit "den Grenzwert in die Reihe ziehen" meine.
nostro1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist korrekt bzw. 1/Summe. Aber diese Summe ist doch nicht mehr die Exponentialreihe?

Diese Summe muss nun gegen 1 konvergieren. Der erste Summand ist 1, werden die restlichen klein genug, sodass die Reihe gegen 1 konvergiert? Meinst du das mit absoluter Konvergenz? Denn ich kenne die absolute Konvergenz nur im Zusammenhang mit alternierenden Reihen.
nostro1 Auf diesen Beitrag antworten »

*edit*
Noch eine Vermutung von mir, kann man diese Reihe nicht einfach mit der Exponentialreihe majorisieren? Und Exp(y) für y->0 wäre 1. Womit der GW gefunden wäre.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das ginge auch, also

Zumindest, wenn man nur betrachtet.
Ansonsten nimmt man .
nostro1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, ist Version 1 hinreichend? Oder ist dieses "besser"?
.[/quote]
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Man bräuchte beide, da man ja nicht weiß, ob von oben oder von unten gegen Null geht.

Wobei mir die Version mit dem gliedweisen Grenzwert eigentlich besser gefiel:
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

@nostro1

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