Untervektorraum oder nicht?

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mimika Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum oder nicht?
Meine Frage:
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe zum Thema Untervektorräume. Diese habe ich zwar im Prinzip verstanden, aber das Beispiel finde ich doch reichlich verwirrend, vielleicht stehe ich aber auch nur auf dem Schlauch. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. smile

Gegeben sind 2 Teilmengen von R³:


Die Frage ist jetzt, ob die beiden Unterräume von R³ sind.
Bis auf die Kriterien für Unterräume hatten wir in der Vorlesung nichts mehr weiter dazu.

Meine Ideen:
Bei U_2 bin ich relativ sicher, dass es kein Unterraum ist.
Denn da ein additiv neutrales Element enthalten sein muss und das (0,0,0) sein sollte, kann das nicht sein: 0+0-1 = -1 =/= 1.

Mein Problem ist jetzt U3. Wenn ich das richtig verstehe, sind das alle Tripel, die sich durch Subtraktion zweier beliebiger Elemente aus U2 darstellen lassen.
0 lässt sich recht einfach zeigen, da für u_1 = u_2 gilt, dass u_1 - u_2 = (0,0,0).

Dann bleibt noch folgendes zu zeigen oder zu widerlegen (im Moment habe ich keine Ahnung, ob es nun ein UR ist oder nicht):
a * u_1 + a * u_2 ist aus U_3, wenn a aus R und u_1 sowie u_2 aus U_3 sind.
In anderen Beispielen habe ich a*u und u1+u2 immer getrennt zeigen können, hier scheitere ich.

Mein Ansatz bisher ist:

Hier komme ich nicht so richtig weiter, da ich nicht weiß, wie ich am besten die Bedingungen von R² einbaue. Es gilt ja, dass x_1 - y_1 = 2, ebenso x_2 - y_2 = 2. x_1-x_2+y_1-y_2 müssten ja außerdem zusammen 4 ergeben. z ist ja sowieso beliebig. Dann muss ich alles noch irgendwie mit dem alpha verrechnen.

Oder ist das ein ganz falscher Ansatz?

Vielen Dank im Vorraus.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum oder nicht?
Vermutlich fällt Dir der Nachweis leichter, wenn Du folgende Darstellung ausnutzt:

mimika Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!
Ist ja peinlich, darauf hätte ich auch kommen können...

Ich versuche morgen mal, damit weiter zu machen. smile
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