Problem bei Klausuraufgabe zu rekursiven Folgen

02.01.2013, 17:58	max_doering	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem bei Klausuraufgabe zu rekursiven Folgen Hallo, bereite mich gerade auf meine Mathe-Klausur in ca. 1 Monat vor; ein bisschen auf Kriegsfuß stehe ich mit rekursiv definierten Folgen .. An folgender Aufgabe beiße ich mir gerade die Zähne aus: Eine Folge $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n} \end{eqnarray}$ wird rekursiv definiert durch $\begin{eqnarray} a_{0}:=2,\newline a_{n+1}:=2a_{n}+5n+5 \end{eqnarray}$ a) Beweisen sie die Ungleichungskette $\begin{eqnarray} 0\leq\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} \leq \frac{a_{n}}{3^n} \end{eqnarray}$ b) Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray} (a_{n}/3^n)_{n} \end{eqnarray}$ eine Nullfolge ist. c)Gilt $\begin{eqnarray} a_{n} = o(3^n) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ ? Mein Ansatz zu a) Bei der linken Ungleichung habe ich einfach Argumentiert: Zum Doppelten des Vorgängers wird immer 5n+5 addiert. Da 5n+5 immer positiv ist und $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} a_{0}:=2 \end{eqnarray}$ ebenfalls immer positiv ist (und genauso jede Potenz von 3 positiv ist) ist $\begin{eqnarray} 0\leq\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} \end{eqnarray}$ Die zweite Ungleichung habe ich versucht, durch Induktion zu beweisen: $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \frac{1}{3}a_{n+2} \leq a_{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}(2a_{n+1}+5n+10)\leq a_{n+1} \end{eqnarray}$ umgeformt... $\begin{eqnarray} a_{n+1}\geq 5n+10 \end{eqnarray}$ ... und die Rekursionsvorschreift eingesetzt... $\begin{eqnarray} a_{n} \geq \frac{5}{2} \end{eqnarray}$ Nun habe ich argumentiert: $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ ist monoton wachsend (Der Vorgänger wird immer verdoppelt und 5n+5 addiert. Da $\begin{eqnarray} a_{0} \end{eqnarray}$ positiv ist, muss $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ monoton wachsend sein.) und ab $\begin{eqnarray} a_{1} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} a_{n} \geq \frac{5}{2} \end{eqnarray}$ .. Da Die Induktionsvorraussetzung erst ab $\begin{eqnarray} a_{3} \end{eqnarray}$ erfüllt ist, gilt die Ungleichung jedoch erst ab $\begin{eqnarray} a_{3} \end{eqnarray}$ Die ganze Argumentation erscheint mir jedoch ein wenig wackelig und ich würde mich nicht ganz wohl fühlen dass in einer Klausur so hinzuschreiben.. gibt es da vielleicht einen etwas mathematisch saubereren Weg? ___________ Bei b fehlt mir nun jeglicher Ansatz. Ich habe versucht ein wenig umzuformen um den Grenzwert erschließen zu können, schaffe es aber nicht, da ich die Rekursion nicht eliminiert bekomme. Ich bin soweit gekommen dass ich $\begin{eqnarray} \frac{a_{n}}{3^n} \end{eqnarray}$ umgeformt habe zu $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} \frac{a_{n-1}}{3^{n-1}} + \frac{5n}{3^n} \end{eqnarray}$ ... dabei ist $\begin{eqnarray} \frac{5n}{3^n} \end{eqnarray}$ eine Nullfolge; nun müsste ich zeigen dass $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} \frac{a_{n-1}}{3^{n-1}} \end{eqnarray}$ ebenfalls eine ist, womit ich mich ja so ziemlich im Kreis drehe! _____________ c) ergibt sich unmittelbar aus der Vorraussetzung, dass $\begin{eqnarray} \frac{a_{n}}{3^n} \end{eqnarray}$ eine Nullfolge ist, wenn ich mich nicht irre! Ich wäre sehr dankbar wenn ihr mir bei b) helfen könntet bzw. eine Idee habt, wie man a) sauberer darlegt! Bin für jede Hilfe dankbar! MfG. Max
03.01.2013, 00:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem bei Klausuraufgabe zu rekursiven Folgen Die Ungleichung $\begin{eqnarray} 0\leq\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} \end{eqnarray}$ ist nicht das Problem, da stimmt deine Argumentation eigentlich. Nur dass $\begin{eqnarray} a_n\geq0 \end{eqnarray}$ , solltest du eher duch eine kleine Induktion zeigen. Deinen Beweis zur zweiten Ungleichung solltest du etwas genauer aufschreiben, der sieht ziemlich wirr aus. Woher kommt vor allem die Zehn? Zur b) ist das schon recht brauchbar. Aus Monotonie und Beschränktheit folgt Konvergenz und dann hast du $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{3^n}=\frac23\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n-1}}{3^{n-1}}+\lim_{n\to\infty}\frac{5n+5}{3^n}\,. \end{eqnarray}$ Schaffst du den Rest? Die c) stimmt so...

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