Extremwerte

02.01.2013, 20:22

Exp21

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Extremwerte

Meine Frage:
Hallo alle experten ich habe gerade bei einer Aufgabe probleme:

Ermitteln sie den relativen Extremwert der Funktion:

y= $\begin{eqnarray*} x-\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

und entscheiden sie ob es sich um ein relatives Minimum oder Maximum
handelt.

Meine ersten 2 Ableitungen sind die:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 1 - \frac{1}{2*\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= - \frac{1}{x^{\frac{3}{2} }} \end{eqnarray*}$

Jetzt wollte ich f'(x) = 0

setzen und bin uf probleme gestossen.

Wie kriege ich die x werte raus?

Wirkt echt schwierig.

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 1 - \frac{1}{2*\sqrt{x} } = 0 \end{eqnarray*}$

WÄre schön wenn mir jemand helfen kann.

Meine Ideen:
gepostet

Edit Equester: Nutze bitte ' statt `, also dem neben der Entertaste Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Korrigiert.

02.01.2013, 20:42

Equester

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Bei der zweiten Ableitung hab ich was anderes.

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{2*\sqrt{x} } = 0 \end{eqnarray*}$

Vorschlag: Addiere mit dem rechten Summanden und multipliziere dann mit dem Wurzelausdruck.
Du kannst dann die Nullstelle bestimmen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.01.2013, 20:48

Exp21

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Stimmt jetzt die 2te Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{1}{x^{\frac{3}{2} }} \end{eqnarray*}$

Aber equester du musst mir noch ein wenig bitte genauer erklären wie ich die x werte rausbekomme.

DAS hab ich noch nicht richtig verstanden.

02.01.2013, 20:54

Equester

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Die Ableitung stimmt weiterhin nicht, auch wenn nun das Vorzeichen passt.
Der Vorfaktor ist weiterhin nicht stimmig.

Zeig doch mal wie weit du mit meinem Vorschlag gekommen bist Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

02.01.2013, 20:54

Exp21

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Ich weiss nicht ob ich dich richtig verstanden hab :

So:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

02.01.2013, 21:02

Equester

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Ja, das passt so Freude

Freude

.

Damit haben wir schon mal die Extremstelle.
Dann finde mal heraus, wo sich der Punkt genau befindet.
Finde außerdem heraus um welche Art von Extremum es sich hier handelt.
Dafür musst du aber noch richtig ableiten (also die 2te Ableitung) Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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02.01.2013, 21:08

Exp21

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Hallo equester ich bin ehrlich ich finde den fehler nicht in der 2ten bleitung .

Was mache ich falsch?

Wo sich der Punkt befindet hab ich ausgerechnet:

P( 1/4 / -1/4)

Ich hoffe es ist richtig?

Bei der 2ten Ableitung bin ich so vorgegangen:

-2*x^{-1/2} = 1/x^{3/2}

02.01.2013, 21:14

Equester

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Den Punkt hast du an der richtigen Stelle gefunden Freude

Freude

.

Ich glaube abgeleitet hast du richtig. Doch passt deine Umformung nicht.

Es ist $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2\sqrt{x}}\neq -2*x^{-\frac12} \end{eqnarray*}$

Einmal hast du die 2 im Nenner, einmal im Zähler. Das kann ja wohl nicht passen.
Entweder du nimmst die 2 mit nach oben (also 2^(-1), was aber recht unsinnig ist) oder
du lässt die 2 im Nenner und nimmst nur den Wurzelausdruck nach oben Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

02.01.2013, 21:17

Exp21

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HAllo equester wenn der wurzelausdruck von unten nach oben kommt ist er doch:

x^{ - 1/2 }

Ein minus steht doch vor dem 1/2 oder?

02.01.2013, 21:19

Exp21

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Die Ableitung muss doch x^{ - 3/2 } sein oder?

02.01.2013, 21:24

Equester

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Ja, das was du sagst ist alles richtig.

Mir alleine geht es um den Vorfaktor 2.

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\color{red}2\color{black}\sqrt{x}}\neq -\color{red}2\color{black}*x^{-\frac12} \end{eqnarray*}$

Du siehst deinen Fehler (zumindest was ich meine, dass er ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

).
Einmal hast du die 2 im Nenner, einmal im Zähler.

Richtig ist die Ableitung vom x. Wie gesagt...der Vorfaktor passt nicht.

02.01.2013, 22:49

Exp21

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Ach soll ich hier produktregel anwenden oder wie?

02.01.2013, 23:00

Equester

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Ich dachte schon du hättest mich verlassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Machen wir mal einen Schritt langsamer.
Leite mir mal den Ausdruck ab:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Was kommt da raus? Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.01.2013, 23:04

Exp21

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Ja ich war kurz weg.

Das wäre :

-x^{ -1/2 }

Ableitung:

1/2* x^{ -3/2 }

Richtig?

02.01.2013, 23:11

Equester

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Ja, das passt Freude

Freude

.

Wir haben ja $\begin{eqnarray*} \frac12 \end{eqnarray*}$ weggelassen. Haun wir den Faktor wieder dazu:

->
1/4* x^{ -3/2 }

Es ergibts sich also für unsere zweite Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{1}{4x^{\frac{3}{2} }} \end{eqnarray*}$

Einverstanden?

02.01.2013, 23:15

Exp21

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Oh man danke der Fehler war so blöd von mir .

Jetzt in die 2 Ableitung ( 1/4 ) eingesetzt:

1/1^{3/2}

Richtig ?

02.01.2013, 23:18

Equester

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Es ist richtig den x-Wert 1/4 in die zweite Ableitung einzusetzen. Da hast du dich aber vertan?
Ich erhalte etwas anderes Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

02.01.2013, 23:23

Exp21

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Was habe ich falsch gemacht ?

Hier rechnung:

02.01.2013, 23:27

Equester

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Die Potenz bezieht sich auf die 1/4 und nicht auf den gesamten Nenner.
Es gilt die Regel: Potenz vor Punkt vor Strich Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

02.01.2013, 23:30

Exp21

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Wie berechne ich den 1/4 ^{ 3/2 } ?

02.01.2013, 23:36

Equester

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Wenn man einen TR nutzen darf, wird der ein oder andere zum TR greifen.

Ich selbst würde so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac32}=\frac{1}{4^{\frac32}}=\frac{1}{(2^2)^{\frac32}}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

Das setzt natürlich voraus, dass man ein wenig mit Zahlen jonglieren kann und das kommt mit der Übung Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Es ergibt sich so übrigens:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{4}{8}} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.01.2013, 23:39

Exp21

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Als Ergebnis würde dann 2 rauskommen oder ?

Aber der Trick war ziemlich gut.
Es liegt kein relatives Minimum vor oder?

02.01.2013, 23:44

Equester

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Es ist richtig, dass bei der zweiten Ableitung der Wert 2 rauskommt, doch was bedeutet das?
Du kennst doch notwendiges und hinreichendes Kriterium für ein Extremum?

Oder ist dir da nur ein "k" (kein) reingerutscht? Es liegt nämlich ein lokales Minimum vor.

Danke^^. Wenn du es nachvollziehen kannst, kannst du es ja nächstmal selbst anwenden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

02.01.2013, 23:53

Exp21

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Danke equester für deine Hilfe .

Ohne deine Hilfe hätte ich es ncht geschafft.

02.01.2013, 23:56

Equester

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Dafür bin ich da und du hast ja gut mitgearbeitet Freude

Freude

.

Wink

02.01.2013, 23:58

Che Netzer

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RE: Extremwerte
Die Extremstelle Null fehlt übrigens noch.

03.01.2013, 00:00

Exp21

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Woher kommt die Null her?

03.01.2013, 00:06

Che Netzer

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Überleg dir mal, auf welcher Menge $\begin{eqnarray*} x\mapsto x-\sqrt x \end{eqnarray*}$ definiert ist.

03.01.2013, 00:09

Exp21

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In der Ursprungsfunktion wäre ja bei 0 eine Nullstelle.

Aber wenn man in der 1 Ableitung 0 einsetzt kommt 1 raus und dann würde ja kein extremwert liegen .

Das musst du mir bitte genauer erklären.

03.01.2013, 00:15

Exp21

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Warum liegt bei 0 ein extremwert?

Das verstehe ich noch nicht ganz.

03.01.2013, 00:18

Che Netzer

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Zitat:

Original von Exp21
Aber wenn man in der 1 Ableitung 0 einsetzt kommt 1 raus und dann würde ja kein extremwert liegen .

Wie hast du dort denn Null eingesetzt?

Hast du vielleicht schonmal den Graphen gezeichnet?

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