Konvergenz

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03.01.2013, 00:12	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Meine Frage: Hallo ich habe bei einer schwierigen Aufgabe probleme: Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz sowie gegebenenfalls auf absolute Konvergenz: Ich hab leider keine Ansätze gepostet , weil ich bei diesem Thema schwierigkeiten hab. Meine Ideen: keine
03.01.2013, 00:20	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Klammer mal $\begin{eqnarray} \frac1{k^2} \end{eqnarray}$ aus dem gesamten Summanden aus.
03.01.2013, 01:07	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst mit gesamten summanden ? Wie sieht das dann aus?
03.01.2013, 01:11	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
D.h. schreibe $\begin{eqnarray} \frac{k+\sqrt k}{k^3+2k^2+5k-1}=\frac1{k^2}\dotso \end{eqnarray}$ Die Summanden sind ja gerade diese Brüche.
03.01.2013, 01:16	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit richtig?
03.01.2013, 01:19	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn der Fleck eine Zwei ist, kannst du das zu $\begin{eqnarray} \frac5k \end{eqnarray}$ kürzen. Jetzt betrachte mal den großen "Restbruch", also $\begin{eqnarray} \frac{k+\sqrt k}{k+2+\frac5k+\frac1{k^2}}\,. \end{eqnarray}$ Da kannst du jetzt einen Grenzwert bilden.
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03.01.2013, 01:23	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollte da nicht unten im nenner noch eine minus stehen? -1/k^2 ? Aber ok. Könnte ich nicht um den grenzwert rauszufinden jetzt den Zähler und nenner jeweils durch k teilen?
03.01.2013, 01:34	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Jaja, das Minus fehlt – stört aber eh nicht Und ja, du kannst dann $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ kürzen und Grenzwertsätze anwenden.
03.01.2013, 01:43	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier mein Ansatz wie gehe ich weiter vor?
03.01.2013, 01:45	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hast du das Minus auch vergessen. Aber du kannst in $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt k}k \end{eqnarray}$ noch kürzen. Und Gleichheit gilt da nicht, d.h. $\begin{eqnarray} \frac1k\neq0 \end{eqnarray}$ etc.
03.01.2013, 01:46	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist der Grenzwert 1 ?
03.01.2013, 01:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Jetzt weißt du also, dass $\begin{eqnarray} \frac{k+\sqrt k}{k+2+\frac5k-\frac1{k^2}}\to1\,. \end{eqnarray}$ Du erinnerst du dich hoffentlich, dass aus Konvergenz einer Folge auch Beschränktheit folgt, oder? Was heißt das formal ausgedrückt (Stichwort: Obere Schranke für den Betrag)?
03.01.2013, 01:50	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Die obere Schranke müsste 1 sein oder ?
03.01.2013, 01:52	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, aber der zentrale Punkt ist, dass es eine gibt. D.h. es gibt ein $\begin{eqnarray} C>0 \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \left\lvert\frac{k+\sqrt k}{k+2+\frac5k-\frac1{k^2}}\right\rvert<C\,. \end{eqnarray}$ Jetzt könntest du das Majorantenkriterium anwenden.
03.01.2013, 01:57	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre das eine Majorante?
03.01.2013, 02:02	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, der ursprüngliche Summand lautet ja $\begin{eqnarray} \frac1{k^2}\frac{k+\sqrt k}{k+2+\frac5k-\frac1{k^2}}\,. \end{eqnarray}$ Für letzteren haben wir jetzt gezeigt, dass man ihn nach oben durch ein $\begin{eqnarray} C>0 \end{eqnarray}$ abschätzen kann.
03.01.2013, 02:11	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnt ich es so mahen:
03.01.2013, 02:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß gar nicht, was du da überhaupt machst. Es geht um eine Abschätzung $\begin{eqnarray} \left\lvert\frac1{k^2}\frac{k+\sqrt k}{k+2+\frac5k-\frac1{k^2}}\right\rvert\leq\dotso\,, \end{eqnarray}$ wobei wir bereits $\begin{eqnarray} \left\lvert\frac{k+\sqrt k}{k+2+\frac5k-\frac1{k^2}}\right\rvert<C \end{eqnarray}$ haben.
03.01.2013, 02:21	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie soll ich denn sowas abschätzen? Ich hab bei sowas meine Probleme .
03.01.2013, 02:23	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das merke ich... Du merkst doch wohl, dass du einen der beiden Faktoren nach oben durch $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ abschätzen kannst, oder? Dann tu das.
03.01.2013, 02:27	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Äh ja den unteren Bruch kann man als die Majorante nehmen oder?
03.01.2013, 02:28	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hört sich an, als würde es in die richtige Richtung gehen, du solltest es aber etwas genauer formulieren und gleich noch sagen, wie genau die Majorante aussehen soll.
03.01.2013, 02:35	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte das meine Majorante sein:
03.01.2013, 02:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Reihe darüber divergiert aber.
03.01.2013, 02:37	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich die Wurzel wegnehmen vom Zähler?
03.01.2013, 02:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das würde nichts ändern. Überlege dir aber mal, wie du $\begin{eqnarray} \left\lvert\frac{k+\sqrt k}{k+2+\frac5k-\frac1{k^2}}\right\rvert\leq C \end{eqnarray}$ benutzen kannst, um $\begin{eqnarray} \left\lvert\frac1{k^2}\frac{k+\sqrt k}{k+2+\frac5k-\frac1{k^2}}\right\rvert \end{eqnarray}$ nach oben durch irgendetwas abzuschätzen.
03.01.2013, 02:42	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei dem oberen könnte ich ein 1/k^4 dazu multiplizieren oder ? Dann wird der obere Bruch kleiner?
03.01.2013, 02:45	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du immer mit oberen und unteren Brüchen meinst, ist mir auch unklar. Vielleicht ist es mit $\begin{eqnarray} \frac{k+\sqrt k}{k+2+\frac5k-\frac1{k^2}}=:c_k \end{eqnarray}$ übersichtlicher. Dann gilt es, unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray} \lvert c_k\rvert\leq C \end{eqnarray}$ den Term $\begin{eqnarray} \left\lvert\frac1{k^2}c_k\right\rvert \end{eqnarray}$ durch einen anderen Ausdruck nach oben abzuschätzen. Die Reihe darüber sollte dann konvergieren.
03.01.2013, 02:50	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss nicht ob es in ordnung ist aber ich poste es:
03.01.2013, 02:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das bringt überhaupt nichts (stimmt aber). Nutze doch die vorgeschlagene Kurzschreibweise. $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}\begin{align}\lvert c_k\rvert&\leq C\\\lvert\tfrac1{k^2}c_k\rvert&\leq?\end{align}\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$
03.01.2013, 02:56	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte ich 1/ k nehmen?
03.01.2013, 02:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das nützt nichts. Na gut, dann vielleicht so: $\begin{eqnarray} \end{eqnarray}\begin{align}\lvert c_k\rvert&\leq C\\\lvert\tfrac1{k^2}c_k\rvert=\lvert\tfrac1{k^2}\rvert\lvert c_k\rvert&\leq?\end{align}\begin{eqnarray} \end{eqnarray}$
03.01.2013, 02:59	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht nur das ck nehmen ?
03.01.2013, 03:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du damit?
03.01.2013, 03:03	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
So?
03.01.2013, 03:05	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein (!) Du sollst die Abschätzung $\begin{eqnarray} {\color{red}\lvert c_k\rvert}\leq C \end{eqnarray}$ benutzen (!!), um mit $\begin{eqnarray} \lvert\tfrac1{k^2}\rvert\color{red}\lvert c_k\rvert \end{eqnarray}$ etwas anzufangen.
03.01.2013, 03:05	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn dieses ck?
03.01.2013, 03:07	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich hier definiert: $\begin{eqnarray} \frac{k+\sqrt k}{k+2+\frac5k-\frac1{k^2}}=:c_k\,. \end{eqnarray}$ Eigentlich kann dir das vorerst aber auch egal sein.
03.01.2013, 03:10	Rh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Majorante müsste ich doch einfach den nenner kleiner machen oder ?
03.01.2013, 03:13	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Nenner kleiner zu machen, liefert zwar eine Majorante, aber die muss nicht unbedingt konvergieren. Ich versuche es aber nochmal: Du hast $\begin{eqnarray} {\color{red}\lvert c_k\rvert}\leq C \end{eqnarray}$ gegeben. Jetzt sollst du $\begin{eqnarray} \lvert\tfrac1{k^2}\rvert\underbrace{\color{red}\lvert c_k\rvert}_{\leq C} \end{eqnarray}$ nach oben durch einen geeigneten Term abschätzen. Benutze dabei ausschließlich die genannte Ungleichung $\begin{eqnarray} \lvert c_k\rvert\leq C \end{eqnarray}$ .

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